---

Step * of Lemma trans-apply_functionality

∀[rv:InnerProductSpace]. ∀[T:ℝ ⟶ Point ⟶ Point].
  ∀[x1,x2:Point]. ∀[t1,t2:ℝ].  (T_t1(x1) ≡ T_t2(x2)) supposing ((t1 = t2) and x1 ≡ x2) 
  supposing ∃e:Point. translation-group-fun(rv;e;T)
BY
{ (Auto
   THEN ExRepD
   THEN D 4
   THEN ExRepD
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN Unfold `trans-apply` -1
   THEN (InstHyp [⌜t1⌝;⌜t2⌝;⌜x1⌝;⌜x2⌝] 4⋅ THENA Auto)
   THEN D -1) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
3. e : Point
4. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T s x # T t y ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
5. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T (t + s) x ≡ T t (T s x)
6. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T t x ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (T y x ≡ x + r*e ⇒ (y = t))))
7. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T t x ≡ x + r*e
8. x1 : Point
9. x2 : Point
10. t1 : ℝ
11. t2 : ℝ
12. x1 ≡ x2
13. t1 = t2
14. T t1 x1 # T t2 x2
15. x1 # x2
⊢ False

2
1. rv : InnerProductSpace
2. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
3. e : Point
4. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T s x # T t y ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
5. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T (t + s) x ≡ T t (T s x)
6. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T t x ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (T y x ≡ x + r*e ⇒ (y = t))))
7. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T t x ≡ x + r*e
8. x1 : Point
9. x2 : Point
10. t1 : ℝ
11. t2 : ℝ
12. x1 ≡ x2
13. t1 = t2
14. T t1 x1 # T t2 x2
15. t1 ≠ t2
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[rv:InnerProductSpace].  \mforall{}[T:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point].
    \mforall{}[x1,x2:Point].  \mforall{}[t1,t2:\mBbbR{}].    (T\_t1(x1)  \mequiv{}  T\_t2(x2))  supposing  ((t1  =  t2)  and  x1  \mequiv{}  x2) 
    supposing  \mexists{}e:Point.  translation-group-fun(rv;e;T)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  ExRepD
  THEN  D  4
  THEN  ExRepD
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `trans-apply`  -1
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}t1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}t2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x2\mkleeneclose{}]  4\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index