---

Step * of Lemma trans-from-kernel-is-trans

No Annotations
∀rv:InnerProductSpace. ∀e:{e:Point(rv)| e^2 = r1} . ∀f,g:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ.
  (trans-kernel-fun(rv;e;f)
  ⇒ (∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r))
  ⇒ translation-group-fun(rv;e;λt,x. trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;x)))
BY
{ (Auto
   THEN (InstLemma `kernel-fun-properties` [⌜rv⌝;⌜e⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN RepeatFor 2 (Thin (-1))
   THEN (D -1 With ⌜g⌝  THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((D -1 THENA Auto))
   THEN D 5
   THEN ExRepD
   THEN (Assert ∀y:Point(rv). (y - y ⋅ e*e ∈ {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} ) BY
               ((Auto THEN DVar `e')
                THEN MemTypeCD
                THEN Auto
                THEN (RWW "rv-ip-sub rv-ip-mul 3" 0 THENA Auto)
                THEN nRNorm 0
                THEN Auto))) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point(rv)| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
10. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
11. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
12. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
13. ∀y:Point(rv). (y - y ⋅ e*e ∈ {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} )
⊢ translation-group-fun(rv;e;λt,x. trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;x))

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}rv:InnerProductSpace.  \mforall{}e:\{e:Point(rv)|  e\^{}2  =  r1\}  .  \mforall{}f,g:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
    (trans-kernel-fun(rv;e;f)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r))
    {}\mRightarrow{}  translation-group-fun(rv;e;\mlambda{}t,x.  trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;x)))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (InstLemma  `kernel-fun-properties`  [\mkleeneopen{}rv\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  RepeatFor  2  (Thin  (-1))
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((D  -1  THENA  Auto))
  THEN  D  5
  THEN  ExRepD
  THEN  (Assert  \mforall{}y:Point(rv).  (y  -  y  \mcdot{}  e*e  \mmember{}  \{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  )  BY
                          ((Auto  THEN  DVar  `e')
                            THEN  MemTypeCD
                            THEN  Auto
                            THEN  (RWW  "rv-ip-sub  rv-ip-mul  3"  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRNorm  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index