---

Step * 1 of Lemma trans-from-kernel-is-trans


1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point(rv)| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
10. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
11. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
12. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
13. ∀y:Point(rv). (y - y ⋅ e*e ∈ {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} )
⊢ translation-group-fun(rv;e;λt,x. trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;x))
BY
{ ((Assert e^2 = r1 BY (DVar `e' THEN Unhide THEN Auto)) THEN PromoteHyp (-1) 5) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point(rv)| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. e^2 = r1
6. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
7. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
8. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
9. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
10. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
11. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
12. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
13. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
14. ∀y:Point(rv). (y - y ⋅ e*e ∈ {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} )
⊢ translation-group-fun(rv;e;λt,x. trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  \{e:Point(rv)|  e\^{}2  =  r1\} 
3.  f  :  \{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  g  :  \{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (f  h1  t1  \mneq{}  f  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
6.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  ((f  h  r0)  =  r0)
7.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    ((t1  <  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h  t1)  <  (f  h  t2)))
8.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  ((f  h  t)  =  r)
9.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r)
10.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h1  t1)  =  (f  h2  t2)))
11.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (g  h1  t1  \mneq{}  g  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
12.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((g  h1  t1)  =  (g  h2  t2)))
13.  \mforall{}y:Point(rv).  (y  -  y  \mcdot{}  e*e  \mmember{}  \{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  )
\mvdash{}  translation-group-fun(rv;e;\mlambda{}t,x.  trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;x))


By

---

Latex:
((Assert  e\^{}2  =  r1  BY  (DVar  `e'  THEN  Unhide  THEN  Auto))  THEN  PromoteHyp  (-1)  5)

---

Home Index