---

Step * 1 1 of Lemma trans-from-kernel-sep


1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. e^2 = r1
6. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
7. (∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0))
∧ (∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2))))
∧ (∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
9. s : ℝ
10. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
11. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
12. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
13. ∀y:Point. (y - y ⋅ e*e ∈ {h:Point| h ⋅ e = r0} )
⊢ ∀t:ℝ. ∀x,y:Point.  (trans-from-kernel(rv;e;f;g;s;x) # trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
BY
{ ((RepUR ``trans-from-kernel`` 0
    THEN RepeatFor 3 ((D 0 THENA Auto))
    THEN (Assert x - x ⋅ e*e # y - y ⋅ e*e ⇒ x # y BY
                (Auto
                 THEN ((FLemma `rv-sub-sep` [-1] THENM D -1) THEN Auto)
                 THEN (FLemma `rv-mul-sep` [-1] THENM D -1)
                 THEN Auto
                 THEN Assert ⌜¬e # e⌝⋅
                 THEN Auto
                 THEN (FLemma `rv-ip-rneq` [-2] THENM D -1)
                 THEN Auto)))
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜x - x ⋅ e*e⌝;⌜y - y ⋅ e*e⌝]⋅
   THEN Auto
   THEN ((FLemma `rv-add-sep` [-1] THENM D -1) THEN Auto)
   THEN (Assert ¬e # e BY
               Auto)
   THEN (FLemma `rv-mul-sep` [-2] THENM D -1)
   THEN Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. e^2 = r1
6. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
9. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
10. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
11. s : ℝ
12. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
13. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
14. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
15. ∀y:Point. (y - y ⋅ e*e ∈ {h:Point| h ⋅ e = r0} )
16. t : ℝ
17. x : Point
18. y : Point
19. v : Point
20. x - x ⋅ e*e = v ∈ Point
21. v1 : Point
22. y - y ⋅ e*e = v1 ∈ Point
23. v # v1 ⇒ x # y
24. v + f v ((g v x ⋅ e) + s)*e # v1 + f v1 ((g v1 y ⋅ e) + t)*e
25. f v ((g v x ⋅ e) + s)*e # f v1 ((g v1 y ⋅ e) + t)*e
26. ¬e # e
27. f v ((g v x ⋅ e) + s) ≠ f v1 ((g v1 y ⋅ e) + t)
⊢ x # y ∨ s ≠ t

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  \{e:Point|  e\^{}2  =  r1\} 
3.  f  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  g  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  e\^{}2  =  r1
6.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (f  h1  t1  \mneq{}  f  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
7.  (\mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  ((f  h  r0)  =  r0))
\mwedge{}  (\mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    ((t1  <  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h  t1)  <  (f  h  t2))))
\mwedge{}  (\mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  ((f  h  t)  =  r))
8.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r)
9.  s  :  \mBbbR{}
10.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h1  t1)  =  (f  h2  t2)))
11.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (g  h1  t1  \mneq{}  g  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
12.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((g  h1  t1)  =  (g  h2  t2)))
13.  \mforall{}y:Point.  (y  -  y  \mcdot{}  e*e  \mmember{}  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  )
\mvdash{}  \mforall{}t:\mBbbR{}.  \mforall{}x,y:Point.
        (trans-from-kernel(rv;e;f;g;s;x)  \#  trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;y)  {}\mRightarrow{}  (x  \#  y  \mvee{}  s  \mneq{}  t))


By

---

Latex:
((RepUR  ``trans-from-kernel``  0
    THEN  RepeatFor  3  ((D  0  THENA  Auto))
    THEN  (Assert  x  -  x  \mcdot{}  e*e  \#  y  -  y  \mcdot{}  e*e  {}\mRightarrow{}  x  \#  y  BY
                            (Auto
                              THEN  ((FLemma  `rv-sub-sep`  [-1]  THENM  D  -1)  THEN  Auto)
                              THEN  (FLemma  `rv-mul-sep`  [-1]  THENM  D  -1)
                              THEN  Auto
                              THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mneg{}e  \#  e\mkleeneclose{}\mcdot{}
                              THEN  Auto
                              THEN  (FLemma  `rv-ip-rneq`  [-2]  THENM  D  -1)
                              THEN  Auto)))
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}x  -  x  \mcdot{}  e*e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y  -  y  \mcdot{}  e*e\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  ((FLemma  `rv-add-sep`  [-1]  THENM  D  -1)  THEN  Auto)
  THEN  (Assert  \mneg{}e  \#  e  BY
                          Auto)
  THEN  (FLemma  `rv-mul-sep`  [-2]  THENM  D  -1)
  THEN  Auto)

---

Home Index