---

Step * 3 of Lemma trans-kernel-is-kernel-fun


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. e^2 = r1
5. translation-group-fun(rv;e;T)
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . (ρ(h;r0) = r0)
7. h : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
8. t1 : ℝ
9. t2 : ℝ
10. t1 < t2
11. h ⋅ e = r0
⊢ T_t1(h) ⋅ e < T_t2(h) ⋅ e
BY
{ (DupHyp 5
   THEN (Assert ∃r:ℝ. ((r0 ≤ r) ∧ T_t2(h) ≡ T_t1(h) + r*e) BY
               ((D -1 THEN ExRepD)
                THEN All (Fold `trans-apply`)
                THEN (InstHyp [⌜T_t1(h)⌝;⌜t2 - t1⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
                THEN ExRepD
                THEN (RWO "trans-apply-add<" (-1) THENA Auto)
                THEN nRNorm  (-1)
                THEN Auto))
   THEN RepeatFor 2 (D -1)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. e^2 = r1
5. translation-group-fun(rv;e;T)
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . (ρ(h;r0) = r0)
7. h : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
8. t1 : ℝ
9. t2 : ℝ
10. t1 < t2
11. h ⋅ e = r0
12. translation-group-fun(rv;e;T)
13. r : ℝ
14. r0 ≤ r
15. T_t2(h) ≡ T_t1(h) + r*e
⊢ T_t1(h) ⋅ e < T_t2(h) ⋅ e

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
4.  e\^{}2  =  r1
5.  translation-group-fun(rv;e;T)
6.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  (\mrho{}(h;r0)  =  r0)
7.  h  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\} 
8.  t1  :  \mBbbR{}
9.  t2  :  \mBbbR{}
10.  t1  <  t2
11.  h  \mcdot{}  e  =  r0
\mvdash{}  T\_t1(h)  \mcdot{}  e  <  T\_t2(h)  \mcdot{}  e


By

---

Latex:
(DupHyp  5
  THEN  (Assert  \mexists{}r:\mBbbR{}.  ((r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  T\_t2(h)  \mequiv{}  T\_t1(h)  +  r*e)  BY
                          ((D  -1  THEN  ExRepD)
                            THEN  All  (Fold  `trans-apply`)
                            THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}T\_t1(h)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}t2  -  t1\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  ExRepD
                            THEN  (RWO  "trans-apply-add<"  (-1)  THENA  Auto)
                            THEN  nRNorm    (-1)
                            THEN  Auto))
  THEN  RepeatFor  2  (D  -1))

---

Home Index