---

Step * 4 of Lemma trans-kernel-is-kernel-fun


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. e^2 = r1
5. translation-group-fun(rv;e;T)
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . (ρ(h;r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ (ρ(h;t1) < ρ(h;t2)))
8. h : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
9. r : ℝ
10. h ⋅ e = r0
⊢ ∃t:ℝ. (T_t(h) ⋅ e = r)
BY
{ (DupHyp 5 THEN D -1 THEN Fold `trans-apply` (-1) THEN ExRepD) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. e^2 = r1
5. translation-group-fun(rv;e;T)
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . (ρ(h;r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ (ρ(h;t1) < ρ(h;t2)))
8. h : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
9. r : ℝ
10. h ⋅ e = r0
11. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T s x # T t y ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
12. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
13. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(x) # x + r*e)))
14. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
⊢ ∃t:ℝ. (T_t(h) ⋅ e = r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
4.  e\^{}2  =  r1
5.  translation-group-fun(rv;e;T)
6.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  (\mrho{}(h;r0)  =  r0)
7.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    ((t1  <  t2)  {}\mRightarrow{}  (\mrho{}(h;t1)  <  \mrho{}(h;t2)))
8.  h  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\} 
9.  r  :  \mBbbR{}
10.  h  \mcdot{}  e  =  r0
\mvdash{}  \mexists{}t:\mBbbR{}.  (T\_t(h)  \mcdot{}  e  =  r)


By

---

Latex:
(DupHyp  5  THEN  D  -1  THEN  Fold  `trans-apply`  (-1)  THEN  ExRepD)

---

Home Index