---

Step * 4 1 of Lemma trans-kernel-is-kernel-fun


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. e^2 = r1
5. translation-group-fun(rv;e;T)
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . (ρ(h;r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ (ρ(h;t1) < ρ(h;t2)))
8. h : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
9. r : ℝ
10. h ⋅ e = r0
11. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T s x # T t y ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
12. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
13. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(x) # x + r*e)))
14. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
⊢ ∃t:ℝ. (T_t(h) ⋅ e = r)
BY
{ ((InstHyp [⌜h⌝;⌜r⌝] (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN ParallelLast
   THEN D -1
   THEN (RWW "-2 rv-ip-add rv-ip-mul 4 9" 0 THENA Auto)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. e^2 = r1
5. translation-group-fun(rv;e;T)
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . (ρ(h;r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ (ρ(h;t1) < ρ(h;t2)))
8. h : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
9. r : ℝ
10. h ⋅ e = r0
11. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T s x # T t y ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
12. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
13. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(x) # x + r*e)))
14. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
15. t : ℝ
16. T_t(h) ≡ h + r*e
17. ∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(h) # h + r*e)
⊢ (h ⋅ e + (r * r1)) = r

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
4.  e\^{}2  =  r1
5.  translation-group-fun(rv;e;T)
6.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  (\mrho{}(h;r0)  =  r0)
7.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    ((t1  <  t2)  {}\mRightarrow{}  (\mrho{}(h;t1)  <  \mrho{}(h;t2)))
8.  h  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\} 
9.  r  :  \mBbbR{}
10.  h  \mcdot{}  e  =  r0
11.  \mforall{}s,t:\mBbbR{}.  \mforall{}x,y:Point.    (T  s  x  \#  T  t  y  {}\mRightarrow{}  (x  \#  y  \mvee{}  s  \mneq{}  t))
12.  \mforall{}t,s:\mBbbR{}.  \mforall{}x:Point.    T\_t  +  s(x)  \mequiv{}  T\_t(T\_s(x))
13.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  (T\_t(x)  \mequiv{}  x  +  r*e  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbR{}.  (y  \mneq{}  t  {}\mRightarrow{}  T\_y(x)  \#  x  +  r*e)))
14.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .    \mexists{}r:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .  T\_t(x)  \mequiv{}  x  +  r*e
\mvdash{}  \mexists{}t:\mBbbR{}.  (T\_t(h)  \mcdot{}  e  =  r)


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}h\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ParallelLast
  THEN  D  -1
  THEN  (RWW  "-2  rv-ip-add  rv-ip-mul  4  9"  0  THENA  Auto))

---

Home Index