---

Step * 1 2 2 of Lemma path-comp-union


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))
9. λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(g@x))
11. λx.outl(g x) ∈ Point(Path(A))
12. h : Point(Path(A))
13. path-comp-rel(A;λx.outl(f x);λx.outl(g x);h)
⊢ path-comp-rel(A + B;f;g;λx.(inl (h x)))
BY
{ (RepeatFor 3 (ParallelLast)
   THEN (RepUR ``path-at`` 0 THEN Fold `path-at` 0)
   THEN RepUR ``path-at`` -1
   THEN Fold `path-at` (-1)
   THEN MoveToConcl (-1)) }

1
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))
9. λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(g@x))
11. λx.outl(g x) ∈ Point(Path(A))
12. h : Point(Path(A))
13. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . h@t ≡ λx.outl(g x)@(r(2) * t) - r1
14. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . h@t ≡ λx.outl(f x)@r(2) * t
15. t : {x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} 
⊢ h@t ≡ outl(f@r(2) * t) ⇒ inl h@t ≡ f@r(2) * t

2
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))
9. λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(g@x))
11. λx.outl(g x) ∈ Point(Path(A))
12. h : Point(Path(A))
13. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . h@t ≡ λx.outl(f x)@r(2) * t
14. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . h@t ≡ λx.outl(g x)@(r(2) * t) - r1
15. t : {x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} 
⊢ h@t ≡ outl(g@(r(2) * t) - r1) ⇒ inl h@t ≡ g@(r(2) * t) - r1

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  +  B))
6.  g  :  Point(Path(A  +  B))
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(f@x))
9.  \mlambda{}x.outl(f  x)  \mmember{}  Point(Path(A))
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(g@x))
11.  \mlambda{}x.outl(g  x)  \mmember{}  Point(Path(A))
12.  h  :  Point(Path(A))
13.  path-comp-rel(A;\mlambda{}x.outl(f  x);\mlambda{}x.outl(g  x);h)
\mvdash{}  path-comp-rel(A  +  B;f;g;\mlambda{}x.(inl  (h  x)))


By

---

Latex:
(RepeatFor  3  (ParallelLast)
  THEN  (RepUR  ``path-at``  0  THEN  Fold  `path-at`  0)
  THEN  RepUR  ``path-at``  -1
  THEN  Fold  `path-at`  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-1))

---

Home Index