---

Step * 1 2 2 2 of Lemma path-comp-union


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))
9. λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(g@x))
11. λx.outl(g x) ∈ Point(Path(A))
12. h : Point(Path(A))
13. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . h@t ≡ λx.outl(f x)@r(2) * t
14. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . h@t ≡ λx.outl(g x)@(r(2) * t) - r1
15. t : {x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} 
⊢ h@t ≡ outl(g@(r(2) * t) - r1) ⇒ inl h@t ≡ g@(r(2) * t) - r1
BY
{ (GenConcl ⌜((r(2) * t) - r1) = z ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} ⌝⋅
   THENA (Auto THEN DVar `t' THEN All Reduce THEN MemTypeCD THEN Auto THEN nRMul ⌜r(2)⌝ (-2)⋅ THEN Auto)
   ) }

1
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))
9. λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(g@x))
11. λx.outl(g x) ∈ Point(Path(A))
12. h : Point(Path(A))
13. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . h@t ≡ λx.outl(f x)@r(2) * t
14. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . h@t ≡ λx.outl(g x)@(r(2) * t) - r1
15. t : {x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} 
16. z : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
17. ((r(2) * t) - r1) = z ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
⊢ h@t ≡ outl(g@z) ⇒ inl h@t ≡ g@z

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  +  B))
6.  g  :  Point(Path(A  +  B))
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(f@x))
9.  \mlambda{}x.outl(f  x)  \mmember{}  Point(Path(A))
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(g@x))
11.  \mlambda{}x.outl(g  x)  \mmember{}  Point(Path(A))
12.  h  :  Point(Path(A))
13.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  h@t  \mequiv{}  \mlambda{}x.outl(f  x)@r(2)  *  t
14.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  h@t  \mequiv{}  \mlambda{}x.outl(g  x)@(r(2)  *  t)  -  r1
15.  t  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\} 
\mvdash{}  h@t  \mequiv{}  outl(g@(r(2)  *  t)  -  r1)  {}\mRightarrow{}  inl  h@t  \mequiv{}  g@(r(2)  *  t)  -  r1


By

---

Latex:
(GenConcl  \mkleeneopen{}((r(2)  *  t)  -  r1)  =  z\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENA  (Auto
                THEN  DVar  `t'
                THEN  All  Reduce
                THEN  MemTypeCD
                THEN  Auto
                THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{}
                THEN  Auto)
  )

---

Home Index