---

Step * 1 2 2 1 1 of Lemma path-comp-union


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))
9. λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(g@x))
11. λx.outl(g x) ∈ Point(Path(A))
12. h : Point(Path(A))
13. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . h@t ≡ λx.outl(g x)@(r(2) * t) - r1
14. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . h@t ≡ λx.outl(f x)@r(2) * t
15. t : {x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} 
16. z : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
17. (r(2) * t) = z ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
⊢ h@t ≡ outl(f@z) ⇒ inl h@t ≡ f@z
BY
{ ((Assert t ∈ {t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1)}  BY
          (DVar `t' THEN All Reduce THEN MemTypeCD THEN Auto))
   THEN (Assert ↑isl(f@z) BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜f@z⌝;⌜h@t⌝]⋅) }

1
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))
9. λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(g@x))
11. λx.outl(g x) ∈ Point(Path(A))
12. h : Point(Path(A))
13. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . h@t ≡ λx.outl(g x)@(r(2) * t) - r1
14. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . h@t ≡ λx.outl(f x)@r(2) * t
15. t : {x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} 
16. z : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
17. (r(2) * t) = z ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
18. t ∈ {t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1)} 
19. v : Point(A + B)
20. f@z = v ∈ Point(A + B)
21. v1 : Point(A)
22. h@t = v1 ∈ Point(A)
⊢ (↑isl(v)) ⇒ v1 ≡ outl(v) ⇒ inl v1 ≡ v

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  +  B))
6.  g  :  Point(Path(A  +  B))
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(f@x))
9.  \mlambda{}x.outl(f  x)  \mmember{}  Point(Path(A))
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(g@x))
11.  \mlambda{}x.outl(g  x)  \mmember{}  Point(Path(A))
12.  h  :  Point(Path(A))
13.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  h@t  \mequiv{}  \mlambda{}x.outl(g  x)@(r(2)  *  t)  -  r1
14.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  h@t  \mequiv{}  \mlambda{}x.outl(f  x)@r(2)  *  t
15.  t  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\} 
16.  z  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
17.  (r(2)  *  t)  =  z
\mvdash{}  h@t  \mequiv{}  outl(f@z)  {}\mRightarrow{}  inl  h@t  \mequiv{}  f@z


By

---

Latex:
((Assert  t  \mmember{}  \{t:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  r1)\}    BY
                (DVar  `t'  THEN  All  Reduce  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \muparrow{}isl(f@z)  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}f@z\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}h@t\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index