---

Step * 4 4 1 1 of Lemma path-comp-union

.....wf..... 
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))
11. λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B))
12. h : Point(Path(B))
13. path-comp-rel(B;λx.outr(f x);λx.outr(g x);h)
⊢ λx.(inr (h x) ) ∈ Point(Path(A + B))
BY
{ (All Thin
   THEN ((RWO  "path-ss-point" 3 THENA Auto) THEN D 3)
   THEN (RWO  "path-ss-point" 0 THENA Auto)
   THEN (MemTypeCD THENW Auto)
   THEN Reduce 0) }

1
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. h : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)
4. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ h t ≡ h t')
⊢ λx.(inr (h x) ) ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A + B)

2
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. h : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)
4. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ h t ≡ h t')
⊢ ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ inr (h t)  ≡ inr (h t') )

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  A  :  SeparationSpace
2.  B  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  +  B))
6.  g  :  Point(Path(A  +  B))
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x))
9.  \mlambda{}x.outr(f  x)  \mmember{}  Point(Path(B))
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(g@x))
11.  \mlambda{}x.outr(g  x)  \mmember{}  Point(Path(B))
12.  h  :  Point(Path(B))
13.  path-comp-rel(B;\mlambda{}x.outr(f  x);\mlambda{}x.outr(g  x);h)
\mvdash{}  \mlambda{}x.(inr  (h  x)  )  \mmember{}  Point(Path(A  +  B))


By

---

Latex:
(All  Thin
  THEN  ((RWO    "path-ss-point"  3  THENA  Auto)  THEN  D  3)
  THEN  (RWO    "path-ss-point"  0  THENA  Auto)
  THEN  (MemTypeCD  THENW  Auto)
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index