---

Step * 4 4 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma path-comp-union


1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))
11. λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B))
12. h : Point(Path(B))
13. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . h@t ≡ λx.outr(g x)@(r(2) * t) - r1
14. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . h@t ≡ λx.outr(f x)@r(2) * t
15. t : {x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} 
16. z : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
17. (r(2) * t) = z ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
18. t ∈ {t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1)} 
19. y : B."Point"
20. f@z = (inr y ) ∈ Point(A + B)
21. v1 : Point(B)
22. h@t = v1 ∈ Point(B)
23. True
24. v1 ≡ y
⊢ inr v1  ≡ inr y 
BY
{ (RepUR ``ss-eq ss-sep union-ss mk-ss union-sep`` -1
   THEN RepUR ``ss-eq ss-sep union-ss mk-ss union-sep`` 0
   THEN Trivial) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SeparationSpace
2.  B  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  +  B))
6.  g  :  Point(Path(A  +  B))
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x))
9.  \mlambda{}x.outr(f  x)  \mmember{}  Point(Path(B))
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(g@x))
11.  \mlambda{}x.outr(g  x)  \mmember{}  Point(Path(B))
12.  h  :  Point(Path(B))
13.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  h@t  \mequiv{}  \mlambda{}x.outr(g  x)@(r(2)  *  t)  -  r1
14.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  h@t  \mequiv{}  \mlambda{}x.outr(f  x)@r(2)  *  t
15.  t  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\} 
16.  z  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
17.  (r(2)  *  t)  =  z
18.  t  \mmember{}  \{t:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  r1)\} 
19.  y  :  B."Point"
20.  f@z  =  (inr  y  )
21.  v1  :  Point(B)
22.  h@t  =  v1
23.  True
24.  v1  \mequiv{}  y
\mvdash{}  inr  v1    \mequiv{}  inr  y 


By

---

Latex:
(RepUR  ``ss-eq  ss-sep  union-ss  mk-ss  union-sep``  -1
  THEN  RepUR  ``ss-eq  ss-sep  union-ss  mk-ss  union-sep``  0
  THEN  Trivial)

---

Home Index