---

Step * 1 1 1 1 1 2 1 of Lemma free-dlwc-satisfies-constraints

.....antecedent..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ x ∈ c)
5. x : T
6. c : fset(T)
7. c ∈ Cs[x]
8. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider({ac:fset(fset(T))| 
                                       (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} )
9. v : fset(fset(T))
10. ↑fset-antichain(eq;v)
11. fset-all(v;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))
12. ∀[x:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} ]
      v ≤ x supposing x ∈ λx.free-dlwc-inc(eq;a.Cs[a];x)"(c)
13. a : fset(T)
14. a ∈ v
15. z : T
16. z ∈ c
17. ↑fset-contains-none(eq;{z};x.Cs[x])
18. {{z}} ∈ {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
⊢ {{z}} ∈ λx.free-dlwc-inc(eq;a.Cs[a];x)"(c)
BY
{ (BLemma `member-fset-image-iff` THENA Try (Complete (Auto))) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ x ∈ c)
5. x : T
6. c : fset(T)
7. c ∈ Cs[x]
8. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider({ac:fset(fset(T))| 
                                       (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} )
9. v : fset(fset(T))
10. ↑fset-antichain(eq;v)
11. fset-all(v;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))
12. ∀[x:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} ]
      v ≤ x supposing x ∈ λx.free-dlwc-inc(eq;a.Cs[a];x)"(c)
13. a : fset(T)
14. a ∈ v
15. z : T
16. z ∈ c
17. ↑fset-contains-none(eq;{z};x.Cs[x])
18. {{z}} ∈ {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
⊢ ↓∃x:T
    (x ∈ c
    ∧ ({{z}}
      = ((λx.free-dlwc-inc(eq;a.Cs[a];x)) x)
      ∈ {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} ))

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  Cs  :  T  {}\mrightarrow{}  fset(fset(T))
4.  \mforall{}x:T.  \mforall{}c:fset(T).    (c  \mmember{}  Cs[x]  {}\mRightarrow{}  x  \mmember{}  c)
5.  x  :  T
6.  c  :  fset(T)
7.  c  \mmember{}  Cs[x]
8.  deq-fset(deq-fset(eq))  \mmember{}  EqDecider(\{ac:fset(fset(T))| 
                                                                              (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))
                                                                              \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\}  )
9.  v  :  fset(fset(T))
10.  \muparrow{}fset-antichain(eq;v)
11.  fset-all(v;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))
12.  \mforall{}[x:\{ac:fset(fset(T))| 
                  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\}  ]
            v  \mleq{}  x  supposing  x  \mmember{}  \mlambda{}x.free-dlwc-inc(eq;a.Cs[a];x)"(c)
13.  a  :  fset(T)
14.  a  \mmember{}  v
15.  z  :  T
16.  z  \mmember{}  c
17.  \muparrow{}fset-contains-none(eq;\{z\};x.Cs[x])
18.  \{\{z\}\}  \mmember{}  \{ac:fset(fset(T))| 
                          (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\} 
\mvdash{}  \{\{z\}\}  \mmember{}  \mlambda{}x.free-dlwc-inc(eq;a.Cs[a];x)"(c)


By

---

Latex:
(BLemma  `member-fset-image-iff`  THENA  Try  (Complete  (Auto)))

---

Home Index