---

Step * 5 1 of Lemma lattice-axioms-from-order


1. l : LatticeStructure
2. R : Point(l) ⟶ Point(l) ⟶ ℙ
3. ∀[a,b:Point(l)].  least-upper-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;b;a ∨ b)
4. ∀[a,b:Point(l)].  greatest-lower-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;b;a ∧ b)
5. Order(Point(l);x,y.R[x;y])
6. ∀[a,b:Point(l)].  (a ∨ b = b ∨ a ∈ Point(l))
7. ∀[a,b,c:Point(l)].  (a ∧ b ∧ c = a ∧ b ∧ c ∈ Point(l))
8. ∀[a,b,c:Point(l)].  (a ∨ b ∨ c = a ∨ b ∨ c ∈ Point(l))
9. a : Point(l)
10. b : Point(l)
11. ∀[c,d:Point(l)].
      (c = d ∈ Point(l)) supposing 
         (least-upper-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;a ∧ b;c) and 
         least-upper-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;a ∧ b;d))
⊢ least-upper-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;a ∧ b;a)
BY
{ (D 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  l  :  LatticeStructure
2.  R  :  Point(l)  {}\mrightarrow{}  Point(l)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}[a,b:Point(l)].    least-upper-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;b;a  \mvee{}  b)
4.  \mforall{}[a,b:Point(l)].    greatest-lower-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;b;a  \mwedge{}  b)
5.  Order(Point(l);x,y.R[x;y])
6.  \mforall{}[a,b:Point(l)].    (a  \mvee{}  b  =  b  \mvee{}  a)
7.  \mforall{}[a,b,c:Point(l)].    (a  \mwedge{}  b  \mwedge{}  c  =  a  \mwedge{}  b  \mwedge{}  c)
8.  \mforall{}[a,b,c:Point(l)].    (a  \mvee{}  b  \mvee{}  c  =  a  \mvee{}  b  \mvee{}  c)
9.  a  :  Point(l)
10.  b  :  Point(l)
11.  \mforall{}[c,d:Point(l)].
            (c  =  d)  supposing 
                  (least-upper-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;a  \mwedge{}  b;c)  and 
                  least-upper-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;a  \mwedge{}  b;d))
\mvdash{}  least-upper-bound(Point(l);x,y.R[x;y];a;a  \mwedge{}  b;a)


By

---

Latex:
(D  0  THEN  Auto)

---

Home Index