---

Step * 2 1 1 1 1 1 of Lemma lattice-extend-dlwc-inc


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. x : T
9. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹]. ∀[s:fset(fset(T))].  uiff({x ∈ s | P[x]} = {} ∈ fset(fset(T));¬(∃x:fset(T). (x ∈ s ∧ (↑P[x]))))
10. ∀x,y:Point(L).  Dec(x = y ∈ Point(L))
11. ¬(0 = (f x) ∈ Point(L))
12. c : fset(T)
13. c ∈ Cs[x]
14. c ⊆ {x}
15. ∀c:fset(T). (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
16. /\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)
⊢ False
BY
{ ((FLemma `f-subset-singleton` [-3] THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (HypSubst' (-1) (-2) THENA Auto)
   THEN (RWO "fset-image-singleton fset-image-empty" (-2) THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. x : T
9. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹]. ∀[s:fset(fset(T))].  uiff({x ∈ s | P[x]} = {} ∈ fset(fset(T));¬(∃x:fset(T). (x ∈ s ∧ (↑P[x]))))
10. ∀x,y:Point(L).  Dec(x = y ∈ Point(L))
11. ¬(0 = (f x) ∈ Point(L))
12. c : fset(T)
13. c ∈ Cs[x]
14. c ⊆ {x}
15. ∀c:fset(T). (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
16. /\({f x}) = 0 ∈ Point(L)
17. c = {x} ∈ fset(T)
⊢ False

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. x : T
9. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹]. ∀[s:fset(fset(T))].  uiff({x ∈ s | P[x]} = {} ∈ fset(fset(T));¬(∃x:fset(T). (x ∈ s ∧ (↑P[x]))))
10. ∀x,y:Point(L).  Dec(x = y ∈ Point(L))
11. ¬(0 = (f x) ∈ Point(L))
12. c : fset(T)
13. c ∈ Cs[x]
14. c ⊆ {x}
15. ∀c:fset(T). (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
16. /\({}) = 0 ∈ Point(L)
17. c = {} ∈ fset(T)
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  Cs  :  T  {}\mrightarrow{}  fset(fset(T))
4.  L  :  BoundedDistributiveLattice
5.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
7.  \mforall{}x:T.  \mforall{}c:fset(T).    (c  \mmember{}  Cs[x]  {}\mRightarrow{}  (/\mbackslash{}(f"(c))  =  0))
8.  x  :  T
9.  \mforall{}[P:fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].  \mforall{}[s:fset(fset(T))].
          uiff(\{x  \mmember{}  s  |  P[x]\}  =  \{\};\mneg{}(\mexists{}x:fset(T).  (x  \mmember{}  s  \mwedge{}  (\muparrow{}P[x]))))
10.  \mforall{}x,y:Point(L).    Dec(x  =  y)
11.  \mneg{}(0  =  (f  x))
12.  c  :  fset(T)
13.  c  \mmember{}  Cs[x]
14.  c  \msubseteq{}  \{x\}
15.  \mforall{}c:fset(T).  (c  \mmember{}  Cs[x]  {}\mRightarrow{}  (/\mbackslash{}(f"(c))  =  0))
16.  /\mbackslash{}(f"(c))  =  0
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
((FLemma  `f-subset-singleton`  [-3]  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (HypSubst'  (-1)  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "fset-image-singleton  fset-image-empty"  (-2)  THENA  Auto))

---

Home Index