---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma sum-in-vs-const


1. K : Rng
2. vs : VectorSpace(K)
3. n : ℤ
4. m : ℤ
5. f : {n..m + 1-} ⟶ |K|
6. a : Point(vs)
7. d : ℕ
8. ∀d:ℕd. ∀n,m:ℤ.
     (m - n < d ⇒ (∀f:{n..m + 1-} ⟶ |K|. (Σ{f[i] * a | n≤i≤m} = Σ(K) n ≤ i < m + 1. f[i] * a ∈ Point(vs))))
9. n1 : ℤ
10. m1 : ℤ
11. m1 - n1 < d
12. f1 : {n1..m1 + 1-} ⟶ |K|
13. ¬m1 < n1
14. n1 ≤ m1
15. ∀f:{n1..m1-} ⟶ |K|. (Σ{f[i] * a | n1≤i≤m1 - 1} = Σ(K) n1 ≤ i < m1. f[i] * a ∈ Point(vs))
16. ¬(n1 ≤ (m1 - 1))
⊢ Σ{f1[i] * a | m1≤i≤m1} = Σ{f1[i] * a | m1≤i≤m1 - 1} + f1[m1] * a ∈ Point(vs)
BY
{ (RW (AddrC [3;2] (LemmaC `empty-sum-in-vs`)) 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  K  :  Rng
2.  vs  :  VectorSpace(K)
3.  n  :  \mBbbZ{}
4.  m  :  \mBbbZ{}
5.  f  :  \{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  |K|
6.  a  :  Point(vs)
7.  d  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}d:\mBbbN{}d.  \mforall{}n,m:\mBbbZ{}.
          (m  -  n  <  d  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  |K|.  (\mSigma{}\{f[i]  *  a  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  =  \mSigma{}(K)  n  \mleq{}  i  <  m  +  1.  f[i]  *  a)))
9.  n1  :  \mBbbZ{}
10.  m1  :  \mBbbZ{}
11.  m1  -  n1  <  d
12.  f1  :  \{n1..m1  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  |K|
13.  \mneg{}m1  <  n1
14.  n1  \mleq{}  m1
15.  \mforall{}f:\{n1..m1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  |K|.  (\mSigma{}\{f[i]  *  a  |  n1\mleq{}i\mleq{}m1  -  1\}  =  \mSigma{}(K)  n1  \mleq{}  i  <  m1.  f[i]  *  a)
16.  \mneg{}(n1  \mleq{}  (m1  -  1))
\mvdash{}  \mSigma{}\{f1[i]  *  a  |  m1\mleq{}i\mleq{}m1\}  =  \mSigma{}\{f1[i]  *  a  |  m1\mleq{}i\mleq{}m1  -  1\}  +  f1[m1]  *  a


By

---

Latex:
(RW  (AddrC  [3;2]  (LemmaC  `empty-sum-in-vs`))  0  THEN  Auto)

---

Home Index