---

Step * 2 2 1 of Lemma vs-map-quotients


1. K : CRng
2. A : VectorSpace(K)
3. B : VectorSpace(K)
4. P : Point(A) ⟶ ℙ
5. Q : Point(B) ⟶ ℙ
6. vs-subspace(K;A;z.P[z])
7. vs-subspace(K;B;z.Q[z])
8. f : Point(A) ⟶ Point(B)
9. ∀u,v:Point(A).  ((f u + v) = f u + f v ∈ Point(B))
10. ∀a:|K|. ∀u:Point(A).  ((f a * u) = a * f u ∈ Point(B))
11. ∀a:Point(A). (P[a] ⇒ Q[f a])
12. {{f} ∈ {{Point({{A}//z.{{P}[{z}]}})} ⟶ {Point({{B}//z.{{Q}[{z}]}})}}}
13. ∀u,v:Point(A//z.P[z]).  ((f u + v) = f u + f v ∈ Point(B//z.Q[z]))
14. a : |K|
15. u : x,y:Point(A)//x = y mod (z.P[z])
⊢ (f a * u) = a * f u ∈ (x,y:Point(B)//x = y mod (z.Q[z]))
BY
{ ((D -1 THENW EAuto 1)
   THEN RepUR ``vs-mul`` 0
   THEN Fold `vs-mul` 0
   THEN EqTypeCD
   THEN EAuto 1
   THEN All (RepUR ``eq-mod-subspace``)) }

1
1. K : CRng
2. A : VectorSpace(K)
3. B : VectorSpace(K)
4. P : Point(A) ⟶ ℙ
5. Q : Point(B) ⟶ ℙ
6. vs-subspace(K;A;z.P[z])
7. vs-subspace(K;B;z.Q[z])
8. f : Point(A) ⟶ Point(B)
9. ∀u,v:Point(A).  ((f u + v) = f u + f v ∈ Point(B))
10. ∀a:|K|. ∀u:Point(A).  ((f a * u) = a * f u ∈ Point(B))
11. ∀a:Point(A). (P[a] ⇒ Q[f a])
12. {{f} ∈ {{Point({{A}//z.{{P}[{z}]}})} ⟶ {Point({{B}//z.{{Q}[{z}]}})}}}
13. ∀u,v:Point(A//z.P[z]).  ((f u + v) = f u + f v ∈ Point(B//z.Q[z]))
14. a : |K|
15. u : Base
16. u1 : Base
17. u = u1 ∈ (x,y:Point(A)//P[x + -(y)])
18. u ∈ Point(A)
19. u1 ∈ Point(A)
20. P[u + -(u1)]
⊢ Q[f a * u + -(a * f u1)]

---

Latex:

---

Latex:

1.  K  :  CRng
2.  A  :  VectorSpace(K)
3.  B  :  VectorSpace(K)
4.  P  :  Point(A)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  Q  :  Point(B)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  vs-subspace(K;A;z.P[z])
7.  vs-subspace(K;B;z.Q[z])
8.  f  :  Point(A)  {}\mrightarrow{}  Point(B)
9.  \mforall{}u,v:Point(A).    ((f  u  +  v)  =  f  u  +  f  v)
10.  \mforall{}a:|K|.  \mforall{}u:Point(A).    ((f  a  *  u)  =  a  *  f  u)
11.  \mforall{}a:Point(A).  (P[a]  {}\mRightarrow{}  Q[f  a])
12.  \{\{f\}  \mmember{}  \{\{Point(\{\{A\}//z.\{\{P\}[\{z\}]\}\})\}  {}\mrightarrow{}  \{Point(\{\{B\}//z.\{\{Q\}[\{z\}]\}\})\}\}\}
13.  \mforall{}u,v:Point(A//z.P[z]).    ((f  u  +  v)  =  f  u  +  f  v)
14.  a  :  |K|
15.  u  :  x,y:Point(A)//x  =  y  mod  (z.P[z])
\mvdash{}  (f  a  *  u)  =  a  *  f  u


By

---

Latex:
((D  -1  THENW  EAuto  1)
  THEN  RepUR  ``vs-mul``  0
  THEN  Fold  `vs-mul`  0
  THEN  EqTypeCD
  THEN  EAuto  1
  THEN  All  (RepUR  ``eq-mod-subspace``))

---

Home Index