Proof of Nuprl Lemma : presheaf-app

Step * 2 of Lemma presheaf-app_wf

.....set predicate.....
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A : {X ⊢ _}
4. B : {X.A ⊢ _}
5. w : {X ⊢ _:ΠA B}
6. u : {X ⊢ _:A}

⊢ ∀I,J:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀a:X(I).  ((app(w; u) I a a f) = (app(w; u) J f(a)) ∈ (B)[u](f(a)))

BY
{ ((Assert ⌜B ∈ X.A ⊢ ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN PromoteHyp (-1) 5
   THEN RepeatFor 2 (DVar `B')
   THEN RepUR ``pscm-ap-type presheaf-app`` 0
   THEN Auto
   THEN All Reduce
   THEN DVar `w'
   THEN All (RepUR ``presheaf-pi``)

   THEN (Assert ⌜(λK,g. (w I a K (cat-comp(C) K J I g f))) = (w J f(a)) ∈ presheaf-pi-family(C; X; A; <A@0, B1>; J; f(a)\000C)⌝⋅

         THENA BackThruSomeHyp
         )
   THEN ApFunToHypEquands `Z' ⌜Z J (cat-id(C) J)⌝ ⌜u:A(f(a)) ⟶ <A@0, B1>((f(a);u))⌝ (-1)⋅) }

1
.....fun wf.....
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A : {X ⊢ _}
4. A@0 : I:cat-ob(C) ⟶ X.A(I) ⟶ Type

5. B1 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))

6. (∀I:cat-ob(C). ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a. ((B1 I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.

     ((B1 I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K cat-comp(C) K J I g f(a))))

7. <A@0, B1> ∈ X.A ⊢
8. w : I:cat-ob(C) ⟶ a:X(I) ⟶ presheaf-pi-family(C; X; A; <A@0, B1>; I; a)
9. ∀I,J:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀a:X(I).

     ((λK,g. (w I a K (cat-comp(C) K J I g f))) = (w J f(a)) ∈ presheaf-pi-family(C; X; A; <A@0, B1>; J; f(a)))

10. u : {X ⊢ _:A}
11. I : cat-ob(C)
12. J : cat-ob(C)
13. f : cat-arrow(C) J I
14. a : X(I)

15. (λK,g. (w I a K (cat-comp(C) K J I g f))) = (w J f(a)) ∈ presheaf-pi-family(C; X; A; <A@0, B1>; J; f(a))

16. Z : presheaf-pi-family(C; X; A; <A@0, B1>; J; f(a))
⊢ (Z J (cat-id(C) J)) = (Z J (cat-id(C) J)) ∈ (u:A(f(a)) ⟶ <A@0, B1>((f(a);u)))

2
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. A : {X ⊢ _}
4. A@0 : I:cat-ob(C) ⟶ X.A(I) ⟶ Type

5. B1 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))

6. (∀I:cat-ob(C). ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a. ((B1 I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A@0 I a)))
∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.

     ((B1 I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K cat-comp(C) K J I g f(a))))

7. <A@0, B1> ∈ X.A ⊢
8. w : I:cat-ob(C) ⟶ a:X(I) ⟶ presheaf-pi-family(C; X; A; <A@0, B1>; I; a)
9. ∀I,J:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀a:X(I).

     ((λK,g. (w I a K (cat-comp(C) K J I g f))) = (w J f(a)) ∈ presheaf-pi-family(C; X; A; <A@0, B1>; J; f(a)))

10. u : {X ⊢ _:A}
11. I : cat-ob(C)
12. J : cat-ob(C)
13. f : cat-arrow(C) J I
14. a : X(I)

15. (λK,g. (w I a K (cat-comp(C) K J I g f))) = (w J f(a)) ∈ presheaf-pi-family(C; X; A; <A@0, B1>; J; f(a))

16. ((λK,g. (w I a K (cat-comp(C) K J I g f))) J (cat-id(C) J))
= (w J f(a) J (cat-id(C) J))
∈ (u:A(f(a)) ⟶ <A@0, B1>((f(a);u)))

⊢ (B1 I J f ([u])a (w I a I (cat-id(C) I) (u I a))) = (w J f(a) J (cat-id(C) J) (u J f(a))) ∈ (A@0 J ([u])f(a))

Latex:

Latex:
.....set predicate..... 1. C : SmallCategory 2. X : ps\_context\{j:l\}(C) 3. A : \{X \mvdash{} \_\} 4. B : \{X.A \mvdash{} \_\} 5. w : \{X \mvdash{} \_:\mPi{}A B\} 6. u : \{X \mvdash{} \_:A\} \mvdash{} \mforall{}I,J:cat-ob(C). \mforall{}f:cat-arrow(C) J I. \mforall{}a:X(I). ((app(w; u) I a a f) = (app(w; u) J f(a))) By Latex: ((Assert \mkleeneopen{}B \mmember{} X.A \mvdash{} \mkleeneclose{}\mcdot{} THENA Auto) THEN PromoteHyp (-1) 5 THEN RepeatFor 2 (DVar `B') THEN RepUR ``pscm-ap-type presheaf-app`` 0 THEN Auto THEN All Reduce THEN DVar `w' THEN All (RepUR ``presheaf-pi``) THEN (Assert \mkleeneopen{}(\mlambda{}K,g. (w I a K (cat-comp(C) K J I g f))) = (w J f(a))\mkleeneclose{}\mcdot{} THENA BackThruSomeHyp) THEN ApFunToHypEquands `Z' \mkleeneopen{}Z J (cat-id(C) J)\mkleeneclose{} \mkleeneopen{}u:A(f(a)) {}\mrightarrow{} <A@0, B1>((f(a);u))\mkleeneclose{} (-1)\mcdot{}) Home Index