---

Step * 1 2 1 of Lemma NoBallRetraction-implies-BrouwerFPT


1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
⊢ ∃g:B(n) ⟶ B(n)
   ((∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;g x;g y)))
   ∧ (∀x:B(n). (||g x|| = r1))
   ∧ (∀x:B(n). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n;g x;x))))
BY
{ ((Assert ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x) BY
          Auto)
   THEN (Assert ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1))) BY
               (ParallelOp -2
                THEN (D -3 With ⌜x⌝  THENA Auto)
                THEN (MoveToConcl (-1) THEN (GenConclTerm ⌜x - f x⋅x - f x⌝⋅ THENA Auto))
                THEN MoveToConcl (-3)
                THEN (GenConclTerm ⌜f x⋅f x - r1⌝⋅ THENA Auto)
                THEN All Thin
                THEN Auto
                THEN (nRMul ⌜v⌝ (-3)⋅ THEN Auto)
                THEN nRMul ⌜r(4)⌝ (-3)⋅
                THEN RWO "-3" 0
                THEN Auto))
   ) }

1
1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
8. ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x)
9. ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)))
⊢ ∃g:B(n) ⟶ B(n)
   ((∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;g x;g y)))
   ∧ (∀x:B(n). (||g x|| = r1))
   ∧ (∀x:B(n). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n;g x;x))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)
3.  \mforall{}x,y:B(n).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x;f  y))
4.  \mforall{}x:B(n).  f  x  \mneq{}  x
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  \mforall{}x:B(n).  (r0  <  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)
7.  \mforall{}x:B(n).  ((f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  \mleq{}  r0)
\mvdash{}  \mexists{}g:B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)
      ((\mforall{}x,y:B(n).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;g  x;g  y)))
      \mwedge{}  (\mforall{}x:B(n).  (||g  x||  =  r1))
      \mwedge{}  (\mforall{}x:B(n).  ((||x||  =  r1)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;g  x;x))))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}x:B(n).  (r0  \mleq{}  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)  BY
                Auto)
  THEN  (Assert  \mforall{}x:B(n).  \mforall{}b:\mBbbR{}.    (r0  \mleq{}  ((b  *  b)  -  r(4)  *  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x  *  (f  x\mcdot{}f  x  -  r1)))  BY
                          (ParallelOp  -2
                            THEN  (D  -3  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
                            THEN  (MoveToConcl  (-1)  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))
                            THEN  MoveToConcl  (-3)
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}f  x\mcdot{}f  x  -  r1\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  All  Thin
                            THEN  Auto
                            THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}  (-3)\mcdot{}  THEN  Auto)
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(4)\mkleeneclose{}  (-3)\mcdot{}
                            THEN  RWO  "-3"  0
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index