---

Step * 1 1 2 1 1 2 of Lemma unit-balls-homeomorphic+


1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
9. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
10. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. y : {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
15. r0 < ||y||
16. h y ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y
17. λi.r0 ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
18. g (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) 
                                               (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y
⊢ g (h y) ≡ y
BY
{ Reduce -1 }

1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
9. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
10. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. y : {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
15. r0 < ||y||
16. h y ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y
17. λi.r0 ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
18. g 
    (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y ≡ (||(mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y||/mdist(...;(.../...)*y;...))*...
⊢ g (h y) ≡ y

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\} 
4.  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
8.  g  \mmember{}  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
9.  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
10.  h  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
11.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
12.  h  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
13.  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
14.  y  :  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
15.  r0  <  ||y||
16.  h  y  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)/||y||)*y
17.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
18.  g  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)/||y||)*y  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p) 
                                                                                              (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)/||y||)*y
\mvdash{}  g  (h  y)  \mequiv{}  y


By

---

Latex:
Reduce  -1

---

Home Index