---

Step * 1 1 2 1 1 2 1 of Lemma unit-balls-homeomorphic+


1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
9. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
10. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. y : {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
15. r0 < ||y||
16. h y ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y
17. λi.r0 ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
18. g 
    (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y ≡ (||(mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y||/mdist(...;(.../...)*y;...))*...
⊢ g (h y) ≡ y
BY
{ (Thin 12
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN MoveToConcl (-2)
   THEN (GenConcl ⌜mdist(max-metric(n);λi.r0;y) = a ∈ {a:ℝ| r0 < a} ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜||y|| = b ∈ {b:ℝ| r0 < b} ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert mdist(max-metric(n);(a/b)*y;λi.r0) = (|(a/b)| * a) BY
               (Thin (-5)
                THEN (RWO "mdist-max-metric-mul" 0 THENA Auto)
                THEN BLemma `rmul_functionality`
                THEN Auto
                THEN RWO "mdist-symm" 0
                THEN Auto))) }

1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
9. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
10. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
13. y : {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
14. r0 < ||y||
15. λi.r0 ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
16. a : {a:ℝ| r0 < a} 
17. mdist(max-metric(n);λi.r0;y) = a ∈ {a:ℝ| r0 < a} 
18. b : {b:ℝ| r0 < b} 
19. ||y|| = b ∈ {b:ℝ| r0 < b} 
20. mdist(max-metric(n);(a/b)*y;λi.r0) = (|(a/b)| * a)
⊢ h y ≡ (a/b)*y ⇒ g (a/b)*y ≡ (||(a/b)*y||/mdist(max-metric(n);(a/b)*y;λi.r0))*(a/b)*y ⇒ g (h y) ≡ y

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\} 
4.  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
8.  g  \mmember{}  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
9.  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
10.  h  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
11.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
12.  h  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
13.  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
14.  y  :  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
15.  r0  <  ||y||
16.  h  y  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)/||y||)*y
17.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
18.  g 
        (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)/||y||)*y  \mequiv{}  (||(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)/||y||)*y||/...)*...*y
\mvdash{}  g  (h  y)  \mequiv{}  y


By

---

Latex:
(Thin  12
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-2)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||y||  =  b\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  mdist(max-metric(n);(a/b)*y;\mlambda{}i.r0)  =  (|(a/b)|  *  a)  BY
                          (Thin  (-5)
                            THEN  (RWO  "mdist-max-metric-mul"  0  THENA  Auto)
                            THEN  BLemma  `rmul\_functionality`
                            THEN  Auto
                            THEN  RWO  "mdist-symm"  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index