---

Step * 1 1 1 2 of Lemma Cauchy-Schwarz1-strict


1. n : ℕ
2. x : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. y : ℕn + 1 ⟶ ℝ
4. ∃i,j:ℕn + 1. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
5. Σ{Σ{(((x[i] * x[i]) * y[i1] * y[i1]) + ((y[i] * y[i]) * x[i1] * x[i1])) - r(2)
* (x[i] * y[i])
* x[i1]
* y[i1] | 0≤i1≤n} | 0≤i≤n}
= Σ{Σ{(x[i1] * y[i]) - x[i] * y[i1]^2 | 0≤i1≤n} | 0≤i≤n}
⊢ r0 < Σ{Σ{(x[i1] * y[i]) - x[i] * y[i1]^2 | 0≤i1≤n} | 0≤i≤n}
BY
{ (BLemma `rsum-of-nonneg-positive-iff` THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. x : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. y : ℕn + 1 ⟶ ℝ
4. ∃i,j:ℕn + 1. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
5. Σ{Σ{(((x[i] * x[i]) * y[i1] * y[i1]) + ((y[i] * y[i]) * x[i1] * x[i1])) - r(2)
* (x[i] * y[i])
* x[i1]
* y[i1] | 0≤i1≤n} | 0≤i≤n}
= Σ{Σ{(x[i1] * y[i]) - x[i] * y[i1]^2 | 0≤i1≤n} | 0≤i≤n}
6. i : ℕn + 1
⊢ r0 ≤ Σ{(x[i1] * y[i]) - x[i] * y[i1]^2 | 0≤i1≤n}

2
1. n : ℕ
2. x : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. y : ℕn + 1 ⟶ ℝ
4. ∃i,j:ℕn + 1. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
5. Σ{Σ{(((x[i] * x[i]) * y[i1] * y[i1]) + ((y[i] * y[i]) * x[i1] * x[i1])) - r(2)
* (x[i] * y[i])
* x[i1]
* y[i1] | 0≤i1≤n} | 0≤i≤n}
= Σ{Σ{(x[i1] * y[i]) - x[i] * y[i1]^2 | 0≤i1≤n} | 0≤i≤n}
⊢ ∃i:ℕn + 1. (r0 < Σ{(x[i1] * y[i]) - x[i] * y[i1]^2 | 0≤i1≤n})

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  x  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  y  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  \mexists{}i,j:\mBbbN{}n  +  1.  x[j]  *  y[i]  \mneq{}  x[i]  *  y[j]
5.  \mSigma{}\{\mSigma{}\{(((x[i]  *  x[i])  *  y[i1]  *  y[i1])  +  ((y[i]  *  y[i])  *  x[i1]  *  x[i1]))  -  r(2)
*  (x[i]  *  y[i])
*  x[i1]
*  y[i1]  |  0\mleq{}i1\mleq{}n\}  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}
=  \mSigma{}\{\mSigma{}\{(x[i1]  *  y[i])  -  x[i]  *  y[i1]\^{}2  |  0\mleq{}i1\mleq{}n\}  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}
\mvdash{}  r0  <  \mSigma{}\{\mSigma{}\{(x[i1]  *  y[i])  -  x[i]  *  y[i1]\^{}2  |  0\mleq{}i1\mleq{}n\}  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}


By

---

Latex:
(BLemma  `rsum-of-nonneg-positive-iff`  THEN  Auto)

---

Home Index