---

Step * 2 of Lemma Riemann-sum-rleq


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. g : [a, b] ⟶ℝ
6. k : ℕ+
7. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ ((f x) ≤ (g x)))
8. icompact([a, b])
9. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List
10. v : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List@i
11. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) = v ∈ ({x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List)@i
⊢ Σ{(f v[i]) * (v[i + 1] - v[i]) | 0≤i≤||v|| - 2} ≤ Σ{(g v[i]) * (v[i + 1] - v[i]) | 0≤i≤||v|| - 2}
BY
{ ((BLemma `rsum_functionality_wrt_rleq` THEN Auto) THEN D 0 THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. g : [a, b] ⟶ℝ
6. k : ℕ+
7. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ ((f x) ≤ (g x)))
8. icompact([a, b])
9. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ∈ {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List
10. v : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List@i
11. full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)) = v ∈ ({x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)}  List)@i
12. i : ℤ@i
13. 0 ≤ i@i
14. i ≤ (||v|| - 2)@i
⊢ ((f v[i]) * (v[i + 1] - v[i])) ≤ ((g v[i]) * (v[i + 1] - v[i]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  g  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  \mleq{}  (g  x)))
8.  icompact([a,  b])
9.  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    List
10.  v  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}    List@i
11.  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))  =  v@i
\mvdash{}  \mSigma{}\{(f  v[i])  *  (v[i  +  1]  -  v[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||v||  -  2\}  \mleq{}  \mSigma{}\{(g  v[i])  *  (v[i  +  1]  -  v[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||v||  -  2\}


By

---

Latex:
((BLemma  `rsum\_functionality\_wrt\_rleq`  THEN  Auto)  THEN  D  0  THEN  Auto)

---

Home Index