---

Step * of Lemma Rolles-theorem

∀a,b:ℝ.
  ((a < b)
  ⇒ (∀f,f':[a, b] ⟶ℝ.
        (f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
        ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
        ⇒ (f[a] = f[b])
        ⇒ (∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ∧ (|f'[x]| ≤ e))))))))
BY
{ (Auto THEN (Assert |f'[x]| continuous for x ∈ [a, b] BY (ProveRealContinuous THEN Auto))) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. f' : [a, b] ⟶ℝ
6. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
7. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
8. f[a] = f[b]
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. |f'[x]| continuous for x ∈ [a, b]
⊢ ∃x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ∧ (|f'[x]| ≤ e))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a,b:\mBbbR{}.
    ((a  <  b)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f,f':[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
                (f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
                {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
                {}\mRightarrow{}  (f[a]  =  f[b])
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (|f'[x]|  \mleq{}  e))))))))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  (Assert  |f'[x]|  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]  BY  (ProveRealContinuous  THEN  Auto)))

---

Home Index