---

Step * 1 1 of Lemma Taylor-series-converges

.....antecedent..... 
1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. ∀r:{r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ (r < t)} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (a - t, a + t)
7. m : ℕ+
8. [%4] : icompact(i-approx((a - t, a + t);m))
⊢ iproper((a - t, a + t))
BY
{ (RepUR ``iproper i-finite left-endpoint right-endpoint endpoints`` 0
   THEN Auto
   THEN (nRAdd ⌜t - a⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN DVar `t'
   THEN Unhide
   THEN Auto
   THEN nRMul ⌜r(2)⌝ 3⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  t  :  \{t:\mBbbR{}|  r0  <  t\} 
3.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a  -  t,  a  +  t)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
5.  infinite-deriv-seq((a  -  t,  a  +  t);i,x.F[i;x])
6.  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  <  t)\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!))  =  \mlambda{}x.r0  for  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)
7.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  [\%4]  :  icompact(i-approx((a  -  t,  a  +  t);m))
\mvdash{}  iproper((a  -  t,  a  +  t))


By

---

Latex:
(RepUR  ``iproper  i-finite  left-endpoint  right-endpoint  endpoints``  0
  THEN  Auto
  THEN  (nRAdd  \mkleeneopen{}t  -  a\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  DVar  `t'
  THEN  Unhide
  THEN  Auto
  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  3\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index