---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma Taylor-theorem-case1


1. I : Interval
2. n : ℕ
3. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀b:{a:ℝ| a ∈ I} 
     ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
     ⇒ d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I)
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I
10. b - a ≠ r0
11. e : ℝ
12. r0 < e
13. R : ℝ
14. Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = R ∈ ℝ
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. rmin(a;b) < rmax(a;b)
17. x : {t:ℝ| t ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
18. y : {t:ℝ| t ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
19. x = y
⊢ ((R/b - a) - b - y^n * (F[n + 1;x]/r((n)!))) = ((R/b - a) - b - y^n * (F[n + 1;y]/r((n)!)))
BY
{ ((Assert F[n + 1;x] = F[n + 1;y] BY Auto) THEN RWO "-1" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}b:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
          ((\mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y])))
          {}\mRightarrow{}  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
          {}\mRightarrow{}  d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da  =  \mlambda{}x.b  -  x\^{}n  *  (F[n  +  1;x]/r((n)!))  on  I)
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
9.  d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da  =  \mlambda{}x.b  -  x\^{}n  *  (F[n  +  1;x]/r((n)!))  on  I
10.  b  -  a  \mneq{}  r0
11.  e  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  e
13.  R  :  \mBbbR{}
14.  Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])  =  R
15.  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  \msubseteq{}  I 
16.  rmin(a;b)  <  rmax(a;b)
17.  x  :  \{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]\} 
18.  y  :  \{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]\} 
19.  x  =  y
\mvdash{}  ((R/b  -  a)  -  b  -  y\^{}n  *  (F[n  +  1;x]/r((n)!)))  =  ((R/b  -  a)  -  b  -  y\^{}n  *  (F[n  +  1;y]/r((n)!)))


By

---

Latex:
((Assert  F[n  +  1;x]  =  F[n  +  1;y]  BY  Auto)  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  Auto)

---

Home Index