---

Step * 1 2 1 of Lemma Taylor-theorem


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. d : ℝ
12. r0 < d
13. (|a - b| < d) ⇒ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e)
14. |a - b| < d
15. |Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e
⊢ ∃c:ℝ
   ((rmin(a;b) ≤ c)
   ∧ (c ≤ rmax(a;b))
   ∧ (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) - (b - c^n * (F[n + 1;c]/r((n)!))) * (b - a)| ≤ e))
BY
{ ((Assert [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I  BY (BLemma `rcc-subinterval` THEN EAuto 1)) THEN (With ⌜b⌝ (D 0)⋅ THEN Auto)⋅) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ+
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. d : ℝ
12. r0 < d
13. |a - b| < d
14. |Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. rmin(a;b) ≤ b
17. b ≤ rmax(a;b)
18. |Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])| ≤ e
⊢ |Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) - (b - b^n * (F[n + 1;b]/r((n)!))) * (b - a)| ≤ e

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
9.  e  :  \mBbbR{}
10.  r0  <  e
11.  d  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  d
13.  (|a  -  b|  <  d)  {}\mRightarrow{}  (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])|  \mleq{}  e)
14.  |a  -  b|  <  d
15.  |Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])|  \mleq{}  e
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbR{}
      ((rmin(a;b)  \mleq{}  c)
      \mwedge{}  (c  \mleq{}  rmax(a;b))
      \mwedge{}  (|Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])  -  (b  -  c\^{}n  *  (F[n  +  1;c]/r((n)!)))  *  (b  -  a)|  \mleq{}  e))


By

---

Latex:
((Assert  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  \msubseteq{}  I    BY
                (BLemma  `rcc-subinterval`  THEN  EAuto  1))
  THEN  (With  \mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{}
  )

---

Home Index