---

Step * 2 1 of Lemma cantor-interval-inclusion

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. ∀[n:ℕ]
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
6. n : ℕ
⊢ ∀d:ℕ
    (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
    ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
    ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
BY
{ InductionOnNat }

1
.....basecase..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. ∀[n:ℕ]
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
6. n : ℕ
7. d : ℤ
⊢ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + 0))))
∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + 0))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + 0))))
∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + 0))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))

2
.....upcase..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. ∀[n:ℕ]
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
6. n : ℕ
7. d : ℤ
8. 0 < d
9. ((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))))
∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))))
∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + (d - 1)))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))
⊢ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}[n:\mBbbN{}]
          (((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  1))))
          \mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  1)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  1))))
          \mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  1)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
6.  n  :  \mBbbN{}
\mvdash{}  \mforall{}d:\mBbbN{}
        (((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  d))))
        \mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  d)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  d))))
        \mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  d)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))


By

---

Latex:
InductionOnNat

---

Home Index