---

Step * 2 of Lemma cantor-interval-inclusion


1. [a] : ℝ
2. [b] : ℝ
3. [%] : a ≤ b
4. [f] : ℕ ⟶ 𝔹
5. ∀[n:ℕ]
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
⊢ ∀[n:ℕ]. ∀[m:{n...}].
    (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;m))))
    ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;m))))
    ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN Assert ⌜∀d:ℕ
                  (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
                  ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
                  ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))⌝⋅
   ) }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. ∀[n:ℕ]
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
6. n : ℕ
⊢ ∀d:ℕ
    (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
    ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
    ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : ℕ ⟶ 𝔹
5. ∀[n:ℕ]
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + 1))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
6. n : ℕ
7. ∀d:ℕ
     (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
     ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))))
     ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;n + d))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
⊢ ∀[m:{n...}]
    (((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) ≤ (fst(cantor-interval(a;b;f;m))))
    ∧ ((fst(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;m))))
    ∧ ((snd(cantor-interval(a;b;f;m))) ≤ (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [a]  :  \mBbbR{}
2.  [b]  :  \mBbbR{}
3.  [\%]  :  a  \mleq{}  b
4.  [f]  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}[n:\mBbbN{}]
          (((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  1))))
          \mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  1)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  1))))
          \mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  1)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))
\mvdash{}  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[m:\{n...\}].
        (((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;m))))
        \mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;m)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;m))))
        \mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;m)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}d:\mBbbN{}
                                (((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))  \mleq{}  (fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  d))))
                                \mwedge{}  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n  +  d)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  d))))
                                \mwedge{}  ((snd(cantor-interval(a;b;f;n  +  d)))  \mleq{}  (snd(cantor-interval(a;b;f;n)))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )

---

Home Index