---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma cantor-to-interval-onto-lemma


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. x : ℝ
5. ∀a,b:ℝ.  ((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∨ (x ∈ [a, (a + 2 * b)/3])) supposing ((x ∈ [a, b]) and (a < b))
6. n : ℕ
7. n + 1 ≠ 0
8. ∀n:ℕn. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹.
     ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                    ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
     supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
9. f : ℕn ⟶ 𝔹
10. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
11. x ∈ [(2 * fst(cantor-interval(a;b;f;n)) + (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))/3, snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
⊢ ((λi.if (i =z n) then tt else f i fi ) = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
∧ ((fst(if n + 1 <z 1
  then <a, b>
  else let a',b' = cantor-interval(a;b;λi.if (i =z n) then tt else f i fi ;n) 
       in if (λi.if (i =z n) then tt else f i fi ) n then <(2 * a' + b')/3, b'> else <a', (a' + 2 * b')/3> fi 
  fi )) ≤ x)
∧ (x ≤ (snd(if n + 1 <z 1
  then <a, b>
  else let a',b' = cantor-interval(a;b;λi.if (i =z n) then tt else f i fi ;n) 
       in if (λi.if (i =z n) then tt else f i fi ) n then <(2 * a' + b')/3, b'> else <a', (a' + 2 * b')/3> fi 
  fi )))
BY
{ (Reduce 0
   THEN (Assert ⌜(λi.if (i =z n) then tt else f i fi ) = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)⌝⋅ THENA (FunExt THEN Reduce 0 THEN Auto))
   THEN D 0
   THEN Try (Trivial)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. x : ℝ
5. ∀a,b:ℝ.  ((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∨ (x ∈ [a, (a + 2 * b)/3])) supposing ((x ∈ [a, b]) and (a < b))
6. n : ℕ
7. n + 1 ≠ 0
8. ∀n:ℕn. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹.
     ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                    ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
     supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
9. f : ℕn ⟶ 𝔹
10. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
11. x ∈ [(2 * fst(cantor-interval(a;b;f;n)) + (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))/3, snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
12. (λi.if (i =z n) then tt else f i fi ) = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)
⊢ ((fst(if n + 1 <z 1
then <a, b>
else let a',b' = cantor-interval(a;b;λi.if (i =z n) then tt else f i fi ;n) 
     in if if (n =z n) then tt else f n fi  then <(2 * a' + b')/3, b'> else <a', (a' + 2 * b')/3> fi 
fi )) ≤ x)
∧ (x ≤ (snd(if n + 1 <z 1
  then <a, b>
  else let a',b' = cantor-interval(a;b;λi.if (i =z n) then tt else f i fi ;n) 
       in if if (n =z n) then tt else f n fi  then <(2 * a' + b')/3, b'> else <a', (a' + 2 * b')/3> fi 
  fi )))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  <  b
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  [(2  *  a  +  b)/3,  b])  \mvee{}  (x  \mmember{}  [a,  (a  +  2  *  b)/3]))  supposing  ((x  \mmember{}  [a,  b])  and  (a  <  b))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  n  +  1  \mneq{}  0
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
          \mexists{}g:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((g  =  f)
                                        \mwedge{}  (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;n  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;n
                                                      +  1))]))] 
          supposing  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
9.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
10.  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
11.  x
\mmember{}  [(2  *  fst(cantor-interval(a;b;f;n))
    +  (snd(cantor-interval(a;b;f;n))))/3,  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
\mvdash{}  ((\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  n)  then  tt  else  f  i  fi  )  =  f)
\mwedge{}  ((fst(if  n  +  1  <z  1
    then  <a,  b>
    else  let  a',b'  =  cantor-interval(a;b;\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  n)  then  tt  else  f  i  fi  ;n) 
              in  if  (\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  n)  then  tt  else  f  i  fi  )  n
                    then  <(2  *  a'  +  b')/3,  b'>
                    else  <a',  (a'  +  2  *  b')/3>
                    fi 
    fi  ))  \mleq{}  x)
\mwedge{}  (x  \mleq{}  (snd(if  n  +  1  <z  1
    then  <a,  b>
    else  let  a',b'  =  cantor-interval(a;b;\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  n)  then  tt  else  f  i  fi  ;n) 
              in  if  (\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  n)  then  tt  else  f  i  fi  )  n
                    then  <(2  *  a'  +  b')/3,  b'>
                    else  <a',  (a'  +  2  *  b')/3>
                    fi 
    fi  )))


By

---

Latex:
(Reduce  0
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  n)  then  tt  else  f  i  fi  )  =  f\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  (FunExt  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))
  THEN  D  0
  THEN  Try  (Trivial))

---

Home Index