---

Step * 1 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma cantor-to-interval-onto-lemma


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. x : ℝ
5. ∀a,b:ℝ.  ((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∨ (x ∈ [a, (a + 2 * b)/3])) supposing ((x ∈ [a, b]) and (a < b))
6. n : ℕ
7. n + 1 ≠ 0
8. ∀n:ℕn. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹.
     ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                    ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
     supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
9. f : ℕn ⟶ 𝔹
10. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
11. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), ((fst(cantor-interval(a;b;f;n))) + 2 * snd(cantor-interval(a;b;f;n)))/3]
12. (λi.if (i =z n) then ff else f i fi ) = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)
13. n = n ∈ ℤ
⊢ ((fst(let a',b' = cantor-interval(a;b;f;n) 
        in <a', (a' + 2 * b')/3>)) ≤ x)
∧ (x ≤ (snd(let a',b' = cantor-interval(a;b;f;n) 
            in <a', (a' + 2 * b')/3>)))
BY
{ (RepUR  ``i-member`` (-3)⋅ THEN MoveToConcl  (-3) THEN (GenConclTerm ⌜cantor-interval(a;b;f;n)⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. x : ℝ
5. ∀a,b:ℝ.  ((x ∈ [(2 * a + b)/3, b]) ∨ (x ∈ [a, (a + 2 * b)/3])) supposing ((x ∈ [a, b]) and (a < b))
6. n : ℕ
7. n + 1 ≠ 0
8. ∀n:ℕn. ∀f:ℕn ⟶ 𝔹.
     ∃g:ℕn + 1 ⟶ 𝔹 [((g = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹))
                    ∧ (x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;g;n + 1)), snd(cantor-interval(a;b;g;n + 1))]))] 
     supposing x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
9. f : ℕn ⟶ 𝔹
10. x ∈ [fst(cantor-interval(a;b;f;n)), snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
11. (λi.if (i =z n) then ff else f i fi ) = f ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)
12. n = n ∈ ℤ
13. v : ℝ × ℝ
14. cantor-interval(a;b;f;n) = v ∈ (ℝ × ℝ)
⊢ (((fst(v)) ≤ x) ∧ (x ≤ ((fst(v)) + 2 * snd(v))/3))
⇒ (((fst(let a',b' = v in <a', (a' + 2 * b')/3>)) ≤ x) ∧ (x ≤ (snd(let a',b' = v in <a', (a' + 2 * b')/3>))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  <  b
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  [(2  *  a  +  b)/3,  b])  \mvee{}  (x  \mmember{}  [a,  (a  +  2  *  b)/3]))  supposing  ((x  \mmember{}  [a,  b])  and  (a  <  b))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  n  +  1  \mneq{}  0
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
          \mexists{}g:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((g  =  f)
                                        \mwedge{}  (x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;g;n  +  1)),  snd(cantor-interval(a;b;g;n
                                                      +  1))]))] 
          supposing  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
9.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
10.  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  snd(cantor-interval(a;b;f;n))]
11.  x  \mmember{}  [fst(cantor-interval(a;b;f;n)),  ((fst(cantor-interval(a;b;f;n)))
                +  2  *  snd(cantor-interval(a;b;f;n)))/3]
12.  (\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  n)  then  ff  else  f  i  fi  )  =  f
13.  n  =  n
\mvdash{}  ((fst(let  a',b'  =  cantor-interval(a;b;f;n) 
                in  <a',  (a'  +  2  *  b')/3>))  \mleq{}  x)
\mwedge{}  (x  \mleq{}  (snd(let  a',b'  =  cantor-interval(a;b;f;n) 
                        in  <a',  (a'  +  2  *  b')/3>)))


By

---

Latex:
(RepUR    ``i-member``  (-3)\mcdot{}
  THEN  MoveToConcl    (-3)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}cantor-interval(a;b;f;n)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index