---

Step * 1 1 2 of Lemma closures-meet-sq


1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. [%4] : (Q b0) ∧ (a0 ≤ b0)
6. c : ℝ
7. [%5] : (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)
8. ∀a:{a:ℝ| P a} . ∀b:{b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} .
     ∃a':{a':ℝ| P a'} . (∃b':{b':ℝ| (Q b') ∧ (a' ≤ b')}  [((a ≤ a') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))])
9. <a0, b0> ∈ a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
10. ∀ab:a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
      ∃ab':a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
       (((fst(ab)) ≤ (fst(ab'))) ∧ ((snd(ab')) ≤ (snd(ab))) ∧ (((snd(ab')) - fst(ab')) ≤ (((snd(ab)) - fst(ab)) * c)))
⊢ ∃s:ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} ) [(∀n:ℕ
                                                   (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
                                                   ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
                                                   ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n]))
                                                     * c))))]
BY
{ ((Skolemize (-1) `s' THENA Auto)
   THEN (D 0 With ⌜λn.primrec(n;<a0, b0>;λi,r. (s r))⌝  THENW Auto)
   THEN RepUR ``so_apply`` 0
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. P : ℝ ⟶ ℙ
2. Q : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. (Q b0) ∧ (a0 ≤ b0)
6. c : ℝ
7. (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)
8. ∀a:{a:ℝ| P a} . ∀b:{b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} .
     ∃a':{a':ℝ| P a'} . (∃b':{b':ℝ| (Q b') ∧ (a' ≤ b')}  [((a ≤ a') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))])
9. <a0, b0> ∈ a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
10. ∀ab:a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
      ∃ab':a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
       (((fst(ab)) ≤ (fst(ab'))) ∧ ((snd(ab')) ≤ (snd(ab))) ∧ (((snd(ab')) - fst(ab')) ≤ (((snd(ab)) - fst(ab)) * c)))
11. s : ab:(a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} ) ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
12. ∀ab:a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} 
      (((fst(ab)) ≤ (fst((s ab))))
      ∧ ((snd((s ab))) ≤ (snd(ab)))
      ∧ (((snd((s ab))) - fst((s ab))) ≤ (((snd(ab)) - fst(ab)) * c)))
13. n : ℕ
⊢ ((fst(primrec(n;<a0, b0>;λi,r. (s r)))) ≤ (fst(primrec(n + 1;<a0, b0>;λi,r. (s r)))))
∧ ((snd(primrec(n + 1;<a0, b0>;λi,r. (s r)))) ≤ (snd(primrec(n;<a0, b0>;λi,r. (s r)))))
∧ (((snd(primrec(n + 1;<a0, b0>;λi,r. (s r)))) - fst(primrec(n + 1;<a0, b0>;λi,r. (s r)))) ≤ (((snd(primrec(n;<a0, b0>;λ\000Ci,r. (s r)))) 
  - fst(primrec(n;<a0, b0>;λi,r. (s r))))
  * c))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [P]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [Q]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \{a:\mBbbR{}|  P  a\} 
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  [\%4]  :  (Q  b0)  \mwedge{}  (a0  \mleq{}  b0)
6.  c  :  \mBbbR{}
7.  [\%5]  :  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)
8.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  .
          \mexists{}a':\{a':\mBbbR{}|  P  a'\}  .  (\mexists{}b':\{b':\mBbbR{}|  (Q  b')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')\}    [((a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  \000Ca)  *  c)))])
9.  <a0,  b0>  \mmember{}  a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\} 
10.  \mforall{}ab:a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\} 
            \mexists{}ab':a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\} 
              (((fst(ab))  \mleq{}  (fst(ab')))
              \mwedge{}  ((snd(ab'))  \mleq{}  (snd(ab)))
              \mwedge{}  (((snd(ab'))  -  fst(ab'))  \mleq{}  (((snd(ab))  -  fst(ab))  *  c)))
\mvdash{}  \mexists{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  )  [(\mforall{}n:\mBbbN{}
                                                                                                      (((fst(s[n]))  \mleq{}  (fst(s[n  +  1])))
                                                                                                      \mwedge{}  ((snd(s[n  +  1]))  \mleq{}  (snd(s[n])))
                                                                                                      \mwedge{}  (((snd(s[n  +  1]))  -  fst(s[n
                                                                                                          +  1]))  \mleq{}  (((snd(s[n]))  -  fst(s[n]))  *  c))))]


By

---

Latex:
((Skolemize  (-1)  `s'  THENA  Auto)
  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}n.primrec(n;<a0,  b0>\mlambda{}i,r.  (s  r))\mkleeneclose{}    THENW  Auto)
  THEN  RepUR  ``so\_apply``  0
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index