---

Step * 2 1 2 of Lemma closures-meet-sq


1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. [%4] : (Q b0) ∧ (a0 ≤ b0)
6. c : ℝ
7. [%5] : (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)
8. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
9. ∀n:ℕ
     (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
     ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
     ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c)))
10. ∀n:ℕ. r0≤(snd(s[n])) - fst(s[n])≤((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(λz.(↓P z)) ∧ y ∈ closure(λz.(↓Q z)))
BY
{ Assert ⌜∃y:ℝ. (lim n→∞.fst(s[n]) = y ∧ lim n→∞.snd(s[n]) = y)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. [%4] : (Q b0) ∧ (a0 ≤ b0)
6. c : ℝ
7. [%5] : (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)
8. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
9. ∀n:ℕ
     (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
     ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
     ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c)))
10. ∀n:ℕ. r0≤(snd(s[n])) - fst(s[n])≤((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n
⊢ ∃y:ℝ. (lim n→∞.fst(s[n]) = y ∧ lim n→∞.snd(s[n]) = y)

2
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : {a:ℝ| P a} 
4. b0 : ℝ
5. [%4] : (Q b0) ∧ (a0 ≤ b0)
6. c : ℝ
7. [%5] : (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)
8. s : ℕ ⟶ (a:{a:ℝ| P a}  × {b:ℝ| (Q b) ∧ (a ≤ b)} )
9. ∀n:ℕ
     (((fst(s[n])) ≤ (fst(s[n + 1])))
     ∧ ((snd(s[n + 1])) ≤ (snd(s[n])))
     ∧ (((snd(s[n + 1])) - fst(s[n + 1])) ≤ (((snd(s[n])) - fst(s[n])) * c)))
10. ∀n:ℕ. r0≤(snd(s[n])) - fst(s[n])≤((snd(s[0])) - fst(s[0])) * c^n
11. ∃y:ℝ. (lim n→∞.fst(s[n]) = y ∧ lim n→∞.snd(s[n]) = y)
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(λz.(↓P z)) ∧ y ∈ closure(λz.(↓Q z)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [P]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [Q]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \{a:\mBbbR{}|  P  a\} 
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  [\%4]  :  (Q  b0)  \mwedge{}  (a0  \mleq{}  b0)
6.  c  :  \mBbbR{}
7.  [\%5]  :  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)
8.  s  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a:\{a:\mBbbR{}|  P  a\}    \mtimes{}  \{b:\mBbbR{}|  (Q  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  )
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          (((fst(s[n]))  \mleq{}  (fst(s[n  +  1])))
          \mwedge{}  ((snd(s[n  +  1]))  \mleq{}  (snd(s[n])))
          \mwedge{}  (((snd(s[n  +  1]))  -  fst(s[n  +  1]))  \mleq{}  (((snd(s[n]))  -  fst(s[n]))  *  c)))
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  r0\mleq{}(snd(s[n]))  -  fst(s[n])\mleq{}((snd(s[0]))  -  fst(s[0]))  *  c\^{}n
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbR{}.  (y  \mmember{}  closure(\mlambda{}z.(\mdownarrow{}P  z))  \mwedge{}  y  \mmember{}  closure(\mlambda{}z.(\mdownarrow{}Q  z)))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}y:\mBbbR{}.  (lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.fst(s[n])  =  y  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.snd(s[n])  =  y)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index