---

Step * 1 of Lemma compact-dist-zero-in-complete


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
⊢ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n))) ⇐⇒ x ∈ A
BY
{ (RepeatFor 2 (D 0) THENW (RepeatFor 2 (D 0) THEN Try ((Assert a ∈ X BY Auto)) THEN Auto)) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
11. ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
⊢ x ∈ A

2
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
11. x ∈ A
⊢ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  mcomplete(X  with  d)
4.  A  :  Type
5.  metric-subspace(X;d;A)
6.  m-closed-subspace(X;d;A)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  mcomplete(A  with  d)
7.  (A  \msubseteq{}r  X)  \mwedge{}  respects-equality(X;A)
8.  c  :  mcompact(A;d)
9.  x  :  X
10.  dist(x;A)  =  r0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  <  (r1/r(n)))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  <  (r1/r(n)))  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  x  \mmember{}  A


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (D  0)  THENW  (RepeatFor  2  (D  0)  THEN  Try  ((Assert  a  \mmember{}  X  BY  Auto))  THEN  Auto))

---

Home Index