---

Step * 1 1 of Lemma compact-dist-zero-in-complete


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
11. ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
⊢ x ∈ A
BY
{ ((Assert m-closed-subspace(X;d;A) BY
          (BackThruSomeHyp THEN DVar `c' THEN Auto))
   THEN ((D -1 With ⌜x⌝  THENM BHyp -1) THENA Auto)
   THEN ParallelOp -2
   THEN D -1) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
11. ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
12. (∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))) ⇒ (x ∈ A)
13. k : ℕ+
14. a : A
15. mdist(d;x;a) < (r1/r(k))
⊢ ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  mcomplete(X  with  d)
4.  A  :  Type
5.  metric-subspace(X;d;A)
6.  m-closed-subspace(X;d;A)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  mcomplete(A  with  d)
7.  (A  \msubseteq{}r  X)  \mwedge{}  respects-equality(X;A)
8.  c  :  mcompact(A;d)
9.  x  :  X
10.  dist(x;A)  =  r0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  <  (r1/r(n)))
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  <  (r1/r(n)))
\mvdash{}  x  \mmember{}  A


By

---

Latex:
((Assert  m-closed-subspace(X;d;A)  BY
                (BackThruSomeHyp  THEN  DVar  `c'  THEN  Auto))
  THEN  ((D  -1  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENM  BHyp  -1)  THENA  Auto)
  THEN  ParallelOp  -2
  THEN  D  -1)

---

Home Index