---

Step * 1 1 1 of Lemma compact-dist-zero-in-complete


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
11. ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
12. (∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))) ⇒ (x ∈ A)
13. k : ℕ+
14. a : A
15. mdist(d;x;a) < (r1/r(k))
⊢ ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
BY
{ D 0 With ⌜a⌝  }

1
.....wf..... 
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
11. ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
12. (∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))) ⇒ (x ∈ A)
13. k : ℕ+
14. a : A
15. mdist(d;x;a) < (r1/r(k))
⊢ a ∈ A

2
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
11. ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
12. (∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))) ⇒ (x ∈ A)
13. k : ℕ+
14. a : A
15. mdist(d;x;a) < (r1/r(k))
⊢ mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k))

3
.....wf..... 
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. A : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. m-closed-subspace(X;d;A) ⇐⇒ mcomplete(A with d)
7. (A ⊆r X) ∧ respects-equality(X;A)
8. c : mcompact(A;d)
9. x : X
10. dist(x;A) = r0 ⇐⇒ ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
11. ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
12. (∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))) ⇒ (x ∈ A)
13. k : ℕ+
14. a : A
15. mdist(d;x;a) < (r1/r(k))
16. a1 : A
⊢ istype(mdist(d;x;a1) ≤ (r1/r(k)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  mcomplete(X  with  d)
4.  A  :  Type
5.  metric-subspace(X;d;A)
6.  m-closed-subspace(X;d;A)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  mcomplete(A  with  d)
7.  (A  \msubseteq{}r  X)  \mwedge{}  respects-equality(X;A)
8.  c  :  mcompact(A;d)
9.  x  :  X
10.  dist(x;A)  =  r0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  <  (r1/r(n)))
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  <  (r1/r(n)))
12.  (\mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mleq{}  (r1/r(k))))  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  A)
13.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  a  :  A
15.  mdist(d;x;a)  <  (r1/r(k))
\mvdash{}  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

---

Latex:
D  0  With  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{} 

---

Home Index