---

Step * 2 of Lemma compact-dist-zero


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. A : Type
4. A ⊆r X
5. c : mcompact(A;d)
6. x : X
7. dist-fun(d;x) ∈ FUN(A ⟶ ℝ)
8. ∀x@0:A. (dist(x;A) ≤ (dist-fun(d;x) x@0))
9. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:A. ((dist-fun(d;x) x@0) < (dist(x;A) + e))))
10. ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
⊢ dist(x;A) = r0
BY
{ ((Assert ⌜dist(x;A) ≤ r0⌝⋅ THENM ((Assert r0 ≤ dist(x;A) BY (BLemma `compact-dist-nonneg` THEN Auto)) THEN EAuto 1))
   THEN ((BLemma `not-rless` THENM D 0) THENA Auto)
   ) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. A : Type
4. A ⊆r X
5. c : mcompact(A;d)
6. x : X
7. dist-fun(d;x) ∈ FUN(A ⟶ ℝ)
8. ∀x@0:A. (dist(x;A) ≤ (dist-fun(d;x) x@0))
9. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:A. ((dist-fun(d;x) x@0) < (dist(x;A) + e))))
10. ∀n:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) < (r1/r(n)))
11. r0 < dist(x;A)
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  A  :  Type
4.  A  \msubseteq{}r  X
5.  c  :  mcompact(A;d)
6.  x  :  X
7.  dist-fun(d;x)  \mmember{}  FUN(A  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{})
8.  \mforall{}x@0:A.  (dist(x;A)  \mleq{}  (dist-fun(d;x)  x@0))
9.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x@0:A.  ((dist-fun(d;x)  x@0)  <  (dist(x;A)  +  e))))
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  <  (r1/r(n)))
\mvdash{}  dist(x;A)  =  r0


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}dist(x;A)  \mleq{}  r0\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  ((Assert  r0  \mleq{}  dist(x;A)  BY  (BLemma  `compact-dist-nonneg`  THEN  Auto))  THEN  EAuto  1)
  )
  THEN  ((BLemma  `not-rless`  THENM  D  0)  THENA  Auto)
  )

---

Home Index