---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma compact-metric-to-metric-continuity

.....antecedent..... 
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. cmplt : mcomplete(X with d)
4. mtb : m-TB(X;d)
5. Y : Type
6. dY : metric(Y)
7. f : X ⟶ Y
8. ∀x,y:X.  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
9. k : ℕ+
10. mtb2 : m-TB(i:ℕ2 ⟶ X;prod-metric(2;λ2i.d))
11. cmp2 : mcomplete(i:ℕ2 ⟶ X with prod-metric(2;λi.d))
12. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
13. ∀x,y:i:ℕ2 ⟶ X.
      ((mdist(prod-metric(2;λi.d);x;y) ≤ delta)
      ⇒ (|mdist(dY;f (x 0);f (x 1)) - mdist(dY;f (y 0);f (y 1))| ≤ (r1/r(k))))
14. x : X
15. y : X
16. mdist(d;x;y) ≤ delta
⊢ mdist(prod-metric(2;λi.d);λi.if (i =z 0) then x else y fi ;λi.x) ≤ delta
BY
{ (RepUR ``mdist prod-metric`` 0
   THEN (RWO  "rsum-split-first" 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN (RWO "rsum-single" 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. cmplt : mcomplete(X with d)
4. mtb : m-TB(X;d)
5. Y : Type
6. dY : metric(Y)
7. f : X ⟶ Y
8. ∀x,y:X.  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
9. k : ℕ+
10. mtb2 : m-TB(i:ℕ2 ⟶ X;prod-metric(2;λ2i.d))
11. cmp2 : mcomplete(i:ℕ2 ⟶ X with prod-metric(2;λi.d))
12. delta : {d:ℝ| r0 < d} 
13. ∀x,y:i:ℕ2 ⟶ X.
      ((mdist(prod-metric(2;λi.d);x;y) ≤ delta)
      ⇒ (|mdist(dY;f (x 0);f (x 1)) - mdist(dY;f (y 0);f (y 1))| ≤ (r1/r(k))))
14. x : X
15. y : X
16. mdist(d;x;y) ≤ delta
⊢ ((d x x) + (d y x)) ≤ delta

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  cmplt  :  mcomplete(X  with  d)
4.  mtb  :  m-TB(X;d)
5.  Y  :  Type
6.  dY  :  metric(Y)
7.  f  :  X  {}\mrightarrow{}  Y
8.  \mforall{}x,y:X.    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  mtb2  :  m-TB(i:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  X;prod-metric(2;\mlambda{}\msubtwo{}i.d))
11.  cmp2  :  mcomplete(i:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  X  with  prod-metric(2;\mlambda{}i.d))
12.  delta  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
13.  \mforall{}x,y:i:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  X.
            ((mdist(prod-metric(2;\mlambda{}i.d);x;y)  \mleq{}  delta)
            {}\mRightarrow{}  (|mdist(dY;f  (x  0);f  (x  1))  -  mdist(dY;f  (y  0);f  (y  1))|  \mleq{}  (r1/r(k))))
14.  x  :  X
15.  y  :  X
16.  mdist(d;x;y)  \mleq{}  delta
\mvdash{}  mdist(prod-metric(2;\mlambda{}i.d);\mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  x  else  y  fi  ;\mlambda{}i.x)  \mleq{}  delta


By

---

Latex:
(RepUR  ``mdist  prod-metric``  0
  THEN  (RWO    "rsum-split-first"  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  (RWO  "rsum-single"  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index