---

Step * 2 1 of Lemma continuous-mul


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. rmax(|f[x]|;|g[x]|) continuous for x ∈ I
5. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
6. n : ℕ+
7. N : ℕ+
8. ∀[x:{r:ℝ| r ∈ i-approx(I;m)} ]. (rmax(|f[x]|;|g[x]|) ≤ r(N))
9. f ∈ i-approx(I;m) ⟶ℝ
10. g ∈ i-approx(I;m) ⟶ℝ
11. d : ℝ
12. (r0 < d)
∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r((2 * n) * N)))))
13. d1 : ℝ
14. (r0 < d1)
∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d1) ⇒ (|g[x] - g[y]| ≤ (r1/r((2 * n) * N)))))
⊢ ∃d:{ℝ| ((r0 < d)
         ∧ (∀x,y:ℝ.
              ((x ∈ i-approx(I;m))
              ⇒ (y ∈ i-approx(I;m))
              ⇒ (|x - y| ≤ d)
              ⇒ (|(f[x] * g[x]) - f[y] * g[y]| ≤ (r1/r(n))))))}
BY
{ (With ⌜rmin(d;d1)⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. rmax(|f[x]|;|g[x]|) continuous for x ∈ I
5. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
6. n : ℕ+
7. N : ℕ+
8. ∀[x:{r:ℝ| r ∈ i-approx(I;m)} ]. (rmax(|f[x]|;|g[x]|) ≤ r(N))
9. f ∈ i-approx(I;m) ⟶ℝ
10. g ∈ i-approx(I;m) ⟶ℝ
11. d : ℝ
12. r0 < d
13. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r((2 * n) * N))))
14. d1 : ℝ
15. r0 < d1
16. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d1) ⇒ (|g[x] - g[y]| ≤ (r1/r((2 * n) * N))))
⊢ r0 < rmin(d;d1)

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. rmax(|f[x]|;|g[x]|) continuous for x ∈ I
5. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
6. n : ℕ+
7. N : ℕ+
8. ∀[x:{r:ℝ| r ∈ i-approx(I;m)} ]. (rmax(|f[x]|;|g[x]|) ≤ r(N))
9. f ∈ i-approx(I;m) ⟶ℝ
10. g ∈ i-approx(I;m) ⟶ℝ
11. d : ℝ
12. r0 < d
13. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r((2 * n) * N))))
14. d1 : ℝ
15. r0 < d1
16. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d1) ⇒ (|g[x] - g[y]| ≤ (r1/r((2 * n) * N))))
17. r0 < rmin(d;d1)
18. x : ℝ
19. y : ℝ
20. x ∈ i-approx(I;m)
21. y ∈ i-approx(I;m)
22. |x - y| ≤ rmin(d;d1)
⊢ |(f[x] * g[x]) - f[y] * g[y]| ≤ (r1/r(n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  rmax(|f[x]|;|g[x]|)  continuous  for  x  \mmember{}  I
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
6.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mforall{}[x:\{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  ].  (rmax(|f[x]|;|g[x]|)  \mleq{}  r(N))
9.  f  \mmember{}  i-approx(I;m)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
10.  g  \mmember{}  i-approx(I;m)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
11.  d  :  \mBbbR{}
12.  (r0  <  d)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
          {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
          {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r((2  *  n)  *  N)))))
13.  d1  :  \mBbbR{}
14.  (r0  <  d1)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
          {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d1)
          {}\mRightarrow{}  (|g[x]  -  g[y]|  \mleq{}  (r1/r((2  *  n)  *  N)))))
\mvdash{}  \mexists{}d:\{\mBbbR{}|  ((r0  <  d)
                  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                            ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                            {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                            {}\mRightarrow{}  (|(f[x]  *  g[x])  -  f[y]  *  g[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))\}


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}rmin(d;d1)\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index