---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma converges-iff-cauchy


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))])
4. k : ℕ+
5. N : ℕ
6. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(2 * k))))
7. n : ℕ
8. m : ℕ
9. N ≤ n
10. N ≤ m
11. |x[n] - y| ≤ (r1/r(2 * k))
12. |y - x[m]| ≤ (r1/r(2 * k))
13. (|x[n] - y| + |y - x[m]|) ≤ ((r1/r(2 * k)) + (r1/r(2 * k)))
⊢ |x[n] - x[m]| ≤ (r1/r(k))
BY
{ ((RWO "r-triangle-inequality2<" (-1) THEN Auto)⋅ THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))])
4. k : ℕ+
5. N : ℕ
6. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(2 * k))))
7. n : ℕ
8. m : ℕ
9. N ≤ n
10. N ≤ m
11. |x[n] - y| ≤ (r1/r(2 * k))
12. |y - x[m]| ≤ (r1/r(2 * k))
13. |x[n] - x[m]| ≤ ((r1/r(2 * k)) + (r1/r(2 * k)))
⊢ ((r1/r(2 * k)) + (r1/r(2 * k))) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  N  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))))
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  m  :  \mBbbN{}
9.  N  \mleq{}  n
10.  N  \mleq{}  m
11.  |x[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))
12.  |y  -  x[m]|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))
13.  (|x[n]  -  y|  +  |y  -  x[m]|)  \mleq{}  ((r1/r(2  *  k))  +  (r1/r(2  *  k)))
\mvdash{}  |x[n]  -  x[m]|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
((RWO  "r-triangle-inequality2<"  (-1)  THEN  Auto)\mcdot{}  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))

---

Home Index