---

Step * 2 1 1 2 2 of Lemma converges-iff-cauchy


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|x[n] - x[m]| ≤ (r1/r(k)))))])
3. f : k:ℕ+ ⟶ ℕ
4. ∀k:ℕ+. ∀n,m:ℕ.  (((f k) ≤ n) ⇒ ((f k) ≤ m) ⇒ (|x[n] - x[m]| ≤ (r1/r(k))))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|x[f n] - x[f m]| ≤ ((r1/r(n)) + (r1/r(m))))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (|x - (x within 1/n)| ≤ (r1/r(n)))
7. ∀n,m:ℕ+.  (|(x[f n] within 1/n) - (x[f m] within 1/m)| ≤ ((r(2)/r(n)) + (r(2)/r(m))))
⊢ ∃y:ℝ. lim n→∞.x[n] = y
BY
{ TACTIC:((Assert 2-regular-seq(λn.(x[f n] n)) BY
                 ((BLemma `implies-regular` THENA Auto)
                  THEN RepeatFor 2 (ParallelLast)
                  THEN RepUR ``rational-approx`` (-1)
                  THEN RepUR ``rational-approx`` 0
                  THEN Trivial))
          THEN With ⌜accelerate(2;λn.(x[f n] n))⌝ (D 0)⋅
          THEN Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|x[n] - x[m]| ≤ (r1/r(k)))))])
3. f : k:ℕ+ ⟶ ℕ
4. ∀k:ℕ+. ∀n,m:ℕ.  (((f k) ≤ n) ⇒ ((f k) ≤ m) ⇒ (|x[n] - x[m]| ≤ (r1/r(k))))
5. ∀n,m:ℕ+.  (|x[f n] - x[f m]| ≤ ((r1/r(n)) + (r1/r(m))))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (|x - (x within 1/n)| ≤ (r1/r(n)))
7. ∀n,m:ℕ+.  (|(x[f n] within 1/n) - (x[f m] within 1/m)| ≤ ((r(2)/r(n)) + (r(2)/r(m))))
8. 2-regular-seq(λn.(x[f n] n))
⊢ lim n→∞.x[n] = accelerate(2;λn.(x[f n] n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  x[m]|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
3.  f  :  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}.    (((f  k)  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((f  k)  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  x[m]|  \mleq{}  (r1/r(k))))
5.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|x[f  n]  -  x[f  m]|  \mleq{}  ((r1/r(n))  +  (r1/r(m))))
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|x  -  (x  within  1/n)|  \mleq{}  (r1/r(n)))
7.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(x[f  n]  within  1/n)  -  (x[f  m]  within  1/m)|  \mleq{}  ((r(2)/r(n))  +  (r(2)/r(m))))
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbR{}.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x[n]  =  y


By

---

Latex:
TACTIC:((Assert  2-regular-seq(\mlambda{}n.(x[f  n]  n))  BY
                              ((BLemma  `implies-regular`  THENA  Auto)
                                THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast)
                                THEN  RepUR  ``rational-approx``  (-1)
                                THEN  RepUR  ``rational-approx``  0
                                THEN  Trivial))
                THEN  With  \mkleeneopen{}accelerate(2;\mlambda{}n.(x[f  n]  n))\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
                THEN  Auto)

---

Home Index