---

Step * of Lemma cover-seq-property

∀[A,B:ℝ ⟶ ℙ].
  ∀d:r:ℝ ⟶ (A[r] + B[r]). ∀a,b:ℝ.
    (A[a]
    ⇒ B[b]
    ⇒ (∀n:ℕ
          (A[fst(cover-seq(d;a;b;n))]
          ∧ B[snd(cover-seq(d;a;b;n))]
          ∧ ((cover-seq(d;a;b;n + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n) in <a, (a + b/r(2))> ∈ (ℝ × ℝ))
            ∨ (cover-seq(d;a;b;n + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n) in <(a + b/r(2)), b> ∈ (ℝ × ℝ))))))
BY
{ (InductionOnNat
   THENL [(RepUR ``cover-seq`` 0 THEN (GenConclTerm ⌜d (a + b/r(2))⌝⋅ THENA Auto) THEN (D -2 THEN Reduce 0) THEN Auto)
         ; Auto]
) }

1
1. [A] : ℝ ⟶ ℙ
2. [B] : ℝ ⟶ ℙ
3. d : r:ℝ ⟶ (A[r] + B[r])
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. A[a]
7. B[b]
8. n : ℤ
9. [%3] : 0 < n
10. A[fst(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
11. B[snd(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
12. (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <a, (a + b/r(2))> ∈ (ℝ × ℝ))
∨ (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <(a + b/r(2)), b> ∈ (ℝ × ℝ))
⊢ A[fst(cover-seq(d;a;b;n))]

2
1. [A] : ℝ ⟶ ℙ
2. [B] : ℝ ⟶ ℙ
3. d : r:ℝ ⟶ (A[r] + B[r])
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. A[a]
7. B[b]
8. n : ℤ
9. [%3] : 0 < n
10. A[fst(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
11. B[snd(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
12. (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <a, (a + b/r(2))> ∈ (ℝ × ℝ))
∨ (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <(a + b/r(2)), b> ∈ (ℝ × ℝ))
13. A[fst(cover-seq(d;a;b;n))]
⊢ B[snd(cover-seq(d;a;b;n))]

3
1. [A] : ℝ ⟶ ℙ
2. [B] : ℝ ⟶ ℙ
3. d : r:ℝ ⟶ (A[r] + B[r])
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. A[a]
7. B[b]
8. n : ℤ
9. [%3] : 0 < n
10. A[fst(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
11. B[snd(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
12. (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <a, (a + b/r(2))> ∈ (ℝ × ℝ))
∨ (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <(a + b/r(2)), b> ∈ (ℝ × ℝ))
13. A[fst(cover-seq(d;a;b;n))]
14. B[snd(cover-seq(d;a;b;n))]
⊢ (cover-seq(d;a;b;n + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n) in <a, (a + b/r(2))> ∈ (ℝ × ℝ))
∨ (cover-seq(d;a;b;n + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n) in <(a + b/r(2)), b> ∈ (ℝ × ℝ))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[A,B:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    \mforall{}d:r:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  (A[r]  +  B[r]).  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
        (A[a]
        {}\mRightarrow{}  B[b]
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}
                    (A[fst(cover-seq(d;a;b;n))]
                    \mwedge{}  B[snd(cover-seq(d;a;b;n))]
                    \mwedge{}  ((cover-seq(d;a;b;n  +  1)  =  let  a,b  =  cover-seq(d;a;b;n)  in  <a,  (a  +  b/r(2))>)
                        \mvee{}  (cover-seq(d;a;b;n  +  1)  =  let  a,b  =  cover-seq(d;a;b;n)  in  <(a  +  b/r(2)),  b>)))))


By

---

Latex:
(InductionOnNat
  THENL  [(RepUR  ``cover-seq``  0
                  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}d  (a  +  b/r(2))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  (D  -2  THEN  Reduce  0)
                  THEN  Auto)
              ;  Auto]
)

---

Home Index