---

Step * 3 of Lemma cover-seq-property


1. [A] : ℝ ⟶ ℙ
2. [B] : ℝ ⟶ ℙ
3. d : r:ℝ ⟶ (A[r] + B[r])
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. A[a]
7. B[b]
8. n : ℤ
9. [%3] : 0 < n
10. A[fst(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
11. B[snd(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
12. (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <a, (a + b/r(2))> ∈ (ℝ × ℝ))
∨ (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <(a + b/r(2)), b> ∈ (ℝ × ℝ))
13. A[fst(cover-seq(d;a;b;n))]
14. B[snd(cover-seq(d;a;b;n))]
⊢ (cover-seq(d;a;b;n + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n) in <a, (a + b/r(2))> ∈ (ℝ × ℝ))
∨ (cover-seq(d;a;b;n + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n) in <(a + b/r(2)), b> ∈ (ℝ × ℝ))
BY
{ (Subst' cover-seq(d;a;b;n + 1) ~ let a,b = cover-seq(d;a;b;n) 
                                   in case d (a + b/r(2)) of inl(z) => <(a + b/r(2)), b> | inr(z) => <a, (a + b/r(2))> 0
   THENA (Unfold `cover-seq` 0
          THEN (RW (AddrC [1] (LemmaC `primrec-unroll`)) 0 THENA Auto)
          THEN (Subst' (n + 1 =z 0) ~ ff 0 THENA Auto)
          THEN Reduce 0
          THEN Subst' (n + 1) - 1 ~ n 0
          THEN Auto)
   ) }

1
1. [A] : ℝ ⟶ ℙ
2. [B] : ℝ ⟶ ℙ
3. d : r:ℝ ⟶ (A[r] + B[r])
4. a : ℝ
5. b : ℝ
6. A[a]
7. B[b]
8. n : ℤ
9. [%3] : 0 < n
10. A[fst(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
11. B[snd(cover-seq(d;a;b;n - 1))]
12. (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <a, (a + b/r(2))> ∈ (ℝ × ℝ))
∨ (cover-seq(d;a;b;(n - 1) + 1) = let a,b = cover-seq(d;a;b;n - 1) in <(a + b/r(2)), b> ∈ (ℝ × ℝ))
13. A[fst(cover-seq(d;a;b;n))]
14. B[snd(cover-seq(d;a;b;n))]
⊢ (let a,b = cover-seq(d;a;b;n) 
   in case d (a + b/r(2)) of inl(z) => <(a + b/r(2)), b> | inr(z) => <a, (a + b/r(2))>
= let a,b = cover-seq(d;a;b;n) 
  in <a, (a + b/r(2))>
∈ (ℝ × ℝ))
∨ (let a,b = cover-seq(d;a;b;n) 
   in case d (a + b/r(2)) of inl(z) => <(a + b/r(2)), b> | inr(z) => <a, (a + b/r(2))>
  = let a,b = cover-seq(d;a;b;n) 
    in <(a + b/r(2)), b>
  ∈ (ℝ × ℝ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [B]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  d  :  r:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  (A[r]  +  B[r])
4.  a  :  \mBbbR{}
5.  b  :  \mBbbR{}
6.  A[a]
7.  B[b]
8.  n  :  \mBbbZ{}
9.  [\%3]  :  0  <  n
10.  A[fst(cover-seq(d;a;b;n  -  1))]
11.  B[snd(cover-seq(d;a;b;n  -  1))]
12.  (cover-seq(d;a;b;(n  -  1)  +  1)  =  let  a,b  =  cover-seq(d;a;b;n  -  1)  in  <a,  (a  +  b/r(2))>)
\mvee{}  (cover-seq(d;a;b;(n  -  1)  +  1)  =  let  a,b  =  cover-seq(d;a;b;n  -  1)  in  <(a  +  b/r(2)),  b>)
13.  A[fst(cover-seq(d;a;b;n))]
14.  B[snd(cover-seq(d;a;b;n))]
\mvdash{}  (cover-seq(d;a;b;n  +  1)  =  let  a,b  =  cover-seq(d;a;b;n)  in  <a,  (a  +  b/r(2))>)
\mvee{}  (cover-seq(d;a;b;n  +  1)  =  let  a,b  =  cover-seq(d;a;b;n)  in  <(a  +  b/r(2)),  b>)


By

---

Latex:
(Subst'  cover-seq(d;a;b;n  +  1)  \msim{}  let  a,b  =  cover-seq(d;a;b;n) 
                                                                  in  case  d  (a  +  b/r(2))
                                                                          of  inl(z)  =>
                                                                          <(a  +  b/r(2)),  b>
                                                                          |  inr(z)  =>
                                                                          <a,  (a  +  b/r(2))>  0
  THENA  (Unfold  `cover-seq`  0
                THEN  (RW  (AddrC  [1]  (LemmaC  `primrec-unroll`))  0  THENA  Auto)
                THEN  (Subst'  (n  +  1  =\msubz{}  0)  \msim{}  ff  0  THENA  Auto)
                THEN  Reduce  0
                THEN  Subst'  (n  +  1)  -  1  \msim{}  n  0
                THEN  Auto)
  )

---

Home Index