---

Step * 1 2 1 2 1 of Lemma derivative-Taylor-approx


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
7. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
8. d(Σ{(F[k;a]/r((k)!)) * b - a^k | 0≤k≤n})/da = λa.Σ{((F[k;a]/r((k)!))
* if (k =z 0) then r0 else r(k) * b - a^k - 1 fi 
* (r0 - r1))
+ (b - a^k * (F[k + 1;a]/r((k)!))) | 0≤k≤n} on I
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. Σ{((F[k;x]/r((k)!)) * if (k =z 0) then r0 else r(k) * b - x^k - 1 fi  * (r0 - r1))
+ (b - x^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) | 0≤k≤n}
= Σ{(b - x^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - (F[k;x]/r((k)!)) * if (k =z 0) then r0 else r(k) * b - x^k - 1 fi  | 0≤k≤n}
⊢ Σ{(b - x^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - (F[k;x]/r((k)!)) * if (k =z 0) then r0 else r(k) * b - x^k - 1 fi  | 0≤k≤n}
= (b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)))
BY
{ (RWO "rsum-telescopes" 0 THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. n : ℕ
4. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
7. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
8. d(Σ{(F[k;a]/r((k)!)) * b - a^k | 0≤k≤n})/da = λa.Σ{((F[k;a]/r((k)!))
* if (k =z 0) then r0 else r(k) * b - a^k - 1 fi 
* (r0 - r1))
+ (b - a^k * (F[k + 1;a]/r((k)!))) | 0≤k≤n} on I
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. Σ{((F[k;x]/r((k)!)) * if (k =z 0) then r0 else r(k) * b - x^k - 1 fi  * (r0 - r1))
+ (b - x^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) | 0≤k≤n}
= Σ{(b - x^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - (F[k;x]/r((k)!)) * if (k =z 0) then r0 else r(k) * b - x^k - 1 fi  | 0≤k≤n}
11. i : ℕn
⊢ ((F[i + 1;x]/r((i + 1)!)) * if (i + 1 =z 0) then r0 else r(i + 1) * b - x^(i + 1) - 1 fi )
= (b - x^i * (F[i + 1;x]/r((i)!)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
7.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
8.  d(\mSigma{}\{(F[k;a]/r((k)!))  *  b  -  a\^{}k  |  0\mleq{}k\mleq{}n\})/da  =  \mlambda{}a.\mSigma{}\{((F[k;a]/r((k)!))
*  if  (k  =\msubz{}  0)  then  r0  else  r(k)  *  b  -  a\^{}k  -  1  fi 
*  (r0  -  r1))
+  (b  -  a\^{}k  *  (F[k  +  1;a]/r((k)!)))  |  0\mleq{}k\mleq{}n\}  on  I
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  \mSigma{}\{((F[k;x]/r((k)!))  *  if  (k  =\msubz{}  0)  then  r0  else  r(k)  *  b  -  x\^{}k  -  1  fi    *  (r0  -  r1))
+  (b  -  x\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!)))  |  0\mleq{}k\mleq{}n\}
=  \mSigma{}\{(b  -  x\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!)))  -  (F[k;x]/r((k)!))
    *  if  (k  =\msubz{}  0)  then  r0  else  r(k)  *  b  -  x\^{}k  -  1  fi    |  0\mleq{}k\mleq{}n\}
\mvdash{}  \mSigma{}\{(b  -  x\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!)))  -  (F[k;x]/r((k)!))
*  if  (k  =\msubz{}  0)  then  r0  else  r(k)  *  b  -  x\^{}k  -  1  fi    |  0\mleq{}k\mleq{}n\}
=  (b  -  x\^{}n  *  (F[n  +  1;x]/r((n)!)))


By

---

Latex:
(RWO  "rsum-telescopes"  0  THEN  Auto)

---

Home Index