---

Step * 1 2 1 1 of Lemma derivative-implies-decreasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x ≤ y
11. [x, y] ⊆ I 
12. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
13. e : {e:ℝ| r0 < e} 
14. k : ℕ+
15. (r1/r(k)) < e
16. d : ℝ
17. r0 < d
18. ∀x@0,y@0:ℝ.
      ((x@0 ∈ i-approx([x, y];1)) ⇒ (y@0 ∈ i-approx([x, y];1)) ⇒ (|x@0 - y@0| ≤ d) ⇒ (|f[x@0] - f[y@0]| ≤ (r1/r(k))))
⊢ f[y] ≤ (f[x] + e)
BY
{ (RepUR ``i-approx`` -1
   THEN (D -1 With ⌜x⌝  THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜y⌝  THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((D -1 THENA Auto))) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f'[x] ≤ r0)
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x ≤ y
11. [x, y] ⊆ I 
12. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
13. e : {e:ℝ| r0 < e} 
14. k : ℕ+
15. (r1/r(k)) < e
16. d : ℝ
17. r0 < d
18. (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k)))
⊢ f[y] ≤ (f[x] + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (f'[x]  \mleq{}  r0)
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  x  \mleq{}  y
11.  [x,  y]  \msubseteq{}  I 
12.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [x,  y]
13.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
14.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  (r1/r(k))  <  e
16.  d  :  \mBbbR{}
17.  r0  <  d
18.  \mforall{}x@0,y@0:\mBbbR{}.
            ((x@0  \mmember{}  i-approx([x,  y];1))
            {}\mRightarrow{}  (y@0  \mmember{}  i-approx([x,  y];1))
            {}\mRightarrow{}  (|x@0  -  y@0|  \mleq{}  d)
            {}\mRightarrow{}  (|f[x@0]  -  f[y@0]|  \mleq{}  (r1/r(k))))
\mvdash{}  f[y]  \mleq{}  (f[x]  +  e)


By

---

Latex:
(RepUR  ``i-approx``  -1
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((D  -1  THENA  Auto)))

---

Home Index