---

Step * 1 of Lemma derivative-rsum

.....assertion..... 
1. [I] : Interval
2. n : ℕ
3. m : {n...}
4. [f] : {n..m + 1-} ⟶ I ⟶ℝ
5. [f'] : {n..m + 1-} ⟶ I ⟶ℝ
6. ∀k:{n..m + 1-}. d(f[k;x])/dx = λx.f'[k;x] on I
⊢ ∀d:ℕ. ((d ≤ (m - n)) ⇒ d(Σ{f[k;x] | n≤k≤n + d})/dx = λx.Σ{f'[k;x] | n≤k≤n + d} on I)
BY
{ (InductionOnNat THEN Auto) }

1
1. [I] : Interval
2. n : ℕ
3. m : {n...}
4. [f] : {n..m + 1-} ⟶ I ⟶ℝ
5. [f'] : {n..m + 1-} ⟶ I ⟶ℝ
6. ∀k:{n..m + 1-}. d(f[k;x])/dx = λx.f'[k;x] on I
7. 0 ≤ (m - n)
⊢ d(Σ{f[k;x] | n≤k≤n + 0})/dx = λx.Σ{f'[k;x] | n≤k≤n + 0} on I

2
1. [I] : Interval
2. n : ℕ
3. m : {n...}
4. [f] : {n..m + 1-} ⟶ I ⟶ℝ
5. [f'] : {n..m + 1-} ⟶ I ⟶ℝ
6. ∀k:{n..m + 1-}. d(f[k;x])/dx = λx.f'[k;x] on I
7. d : ℤ
8. [%2] : 0 < d
9. ((d - 1) ≤ (m - n)) ⇒ d(Σ{f[k;x] | n≤k≤n + (d - 1)})/dx = λx.Σ{f'[k;x] | n≤k≤n + (d - 1)} on I
10. d ≤ (m - n)
⊢ d(Σ{f[k;x] | n≤k≤n + d})/dx = λx.Σ{f'[k;x] | n≤k≤n + d} on I

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [I]  :  Interval
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  m  :  \{n...\}
4.  [f]  :  \{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  [f']  :  \{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  \mforall{}k:\{n..m  +  1\msupminus{}\}.  d(f[k;x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[k;x]  on  I
\mvdash{}  \mforall{}d:\mBbbN{}.  ((d  \mleq{}  (m  -  n))  {}\mRightarrow{}  d(\mSigma{}\{f[k;x]  |  n\mleq{}k\mleq{}n  +  d\})/dx  =  \mlambda{}x.\mSigma{}\{f'[k;x]  |  n\mleq{}k\mleq{}n  +  d\}  on  I)


By

---

Latex:
(InductionOnNat  THEN  Auto)

---

Home Index