---

Step * of Lemma derivative_functionality

∀[I:Interval]. ∀[f1,f2,g1,g2:I ⟶ℝ].
  (rfun-eq(I;f1;f2) ⇒ rfun-eq(I;g1;g2) ⇒ λx.g1[x] = d(f1[x])/dx on I ⇒ λx.g2[x] = d(f2[x])/dx on I)
BY
{ (Auto
   THEN RepeatFor 4 (ParallelLast')
   THEN ∀h:hyp. (FLemma `i-member-approx` [h] THEN Auto) 
   THEN RepeatFor 6 ((ParallelLast'⋅ THENA Auto))
   THEN RWO "-1<" 0
   THEN Auto
   THEN ∀h:hyp. (FLemma `i-member-approx` [h] THEN Auto) ) }

1
1. I : Interval
2. f1 : I ⟶ℝ
3. f2 : I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. g2 : I ⟶ℝ
6. rfun-eq(I;f1;f2)@i
7. rfun-eq(I;g1;g2)@i
8. k : ℕ+@i
9. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} @i
10. del : ℝ
11. r0 < del
12. x : ℝ@i
13. y : ℝ@i
14. x ∈ i-approx(I;n)@i
15. y ∈ i-approx(I;n)@i
16. |y - x| ≤ del@i
17. |f1[y] - f1[x] - g1[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)
18. y ∈ I
19. x ∈ I
⊢ |f2[y] - f2[x] - g2[x] * (y - x)| ≤ |f1[y] - f1[x] - g1[x] * (y - x)|

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[I:Interval].  \mforall{}[f1,f2,g1,g2:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}].
    (rfun-eq(I;f1;f2)
    {}\mRightarrow{}  rfun-eq(I;g1;g2)
    {}\mRightarrow{}  \mlambda{}x.g1[x]  =  d(f1[x])/dx  on  I
    {}\mRightarrow{}  \mlambda{}x.g2[x]  =  d(f2[x])/dx  on  I)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  RepeatFor  4  (ParallelLast')
  THEN  \mforall{}h:hyp.  (FLemma  `i-member-approx`  [h]  THEN  Auto) 
  THEN  RepeatFor  6  ((ParallelLast'\mcdot{}  THENA  Auto))
  THEN  RWO  "-1<"  0
  THEN  Auto
  THEN  \mforall{}h:hyp.  (FLemma  `i-member-approx`  [h]  THEN  Auto)  )

---

Home Index