---

Step * 1 of Lemma derivative_functionality


1. I : Interval
2. f1 : I ⟶ℝ
3. f2 : I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. g2 : I ⟶ℝ
6. rfun-eq(I;f1;f2)@i
7. rfun-eq(I;g1;g2)@i
8. k : ℕ+@i
9. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} @i
10. del : ℝ
11. r0 < del
12. x : ℝ@i
13. y : ℝ@i
14. x ∈ i-approx(I;n)@i
15. y ∈ i-approx(I;n)@i
16. |y - x| ≤ del@i
17. |f1[y] - f1[x] - g1[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)
18. y ∈ I
19. x ∈ I
⊢ |f2[y] - f2[x] - g2[x] * (y - x)| ≤ |f1[y] - f1[x] - g1[x] * (y - x)|
BY
{ ((Unfold `so_apply` 0 THEN Fold `r-ap` 0)
   THEN ∀h:hyp. (Unfold `rfun-eq` h THEN RW (SweepUpC (HypC h)) 0 THEN Auto) 
   ) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f1  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  f2  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g1  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  g2  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  rfun-eq(I;f1;f2)@i
7.  rfun-eq(I;g1;g2)@i
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
9.  n  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))\}  @i
10.  del  :  \mBbbR{}
11.  r0  <  del
12.  x  :  \mBbbR{}@i
13.  y  :  \mBbbR{}@i
14.  x  \mmember{}  i-approx(I;n)@i
15.  y  \mmember{}  i-approx(I;n)@i
16.  |y  -  x|  \mleq{}  del@i
17.  |f1[y]  -  f1[x]  -  g1[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|)
18.  y  \mmember{}  I
19.  x  \mmember{}  I
\mvdash{}  |f2[y]  -  f2[x]  -  g2[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  |f1[y]  -  f1[x]  -  g1[x]  *  (y  -  x)|


By

---

Latex:
((Unfold  `so\_apply`  0  THEN  Fold  `r-ap`  0)
  THEN  \mforall{}h:hyp.  (Unfold  `rfun-eq`  h  THEN  RW  (SweepUpC  (HypC  h))  0  THEN  Auto) 
  )

---

Home Index