---

Step * 1 of Lemma differentiable-continuous


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
5. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
6. g[x] (proper)continuous for x ∈ I
⊢ f[x] (proper)continuous for x ∈ I
BY
{ (D 0
   THEN Auto
   THEN (InstLemma `i-approx-is-subinterval` [⌜I⌝;⌜m⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ∃M:ℕ. |g x|(x∈i-approx(I;m)) ≤ r(M) BY
               ((InstLemma `sup-range` [⌜i-approx(I;m)⌝;⌜λx.|g x|⌝]⋅
                 THENA (Auto
                        THEN All (RepUR ``so_apply``)
                        THEN Auto
                        THEN BLemma `continuous-abs`
                        THEN Auto
                        THEN BLemma `proper-continuous-implies`
                        THEN Auto
                        THEN DVar `m'
                        THEN Unhide
                        THEN Auto
                        THEN Unfold `iproper` 0
                        THEN Auto)
                 )
                THEN RepUR ``r-ap`` -1
                THEN ExRepD
                THEN (InstLemma `r-archimedean` [⌜y⌝]⋅ THENA Auto)
                THEN D -1
                THEN RenameVar `M' (-2)
                THEN With ⌜M⌝ (D 0)⋅
                THEN Auto
                THEN D -4
                THEN RWO "-1<" 0
                THEN Auto))) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
5. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
6. g[x] (proper)continuous for x ∈ I
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m)) ∧ iproper(i-approx(I;m))} 
8. n : ℕ+
9. i-approx(I;m) ⊆ I 
10. ∃M:ℕ. |g x|(x∈i-approx(I;m)) ≤ r(M)
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.g[x]  on  I
6.  g[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  I
\mvdash{}  f[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  I


By

---

Latex:
(D  0
  THEN  Auto
  THEN  (InstLemma  `i-approx-is-subinterval`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mexists{}M:\mBbbN{}.  |g  x|(x\mmember{}i-approx(I;m))  \mleq{}  r(M)  BY
                          ((InstLemma  `sup-range`  [\mkleeneopen{}i-approx(I;m)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x.|g  x|\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                              THENA  (Auto
                                            THEN  All  (RepUR  ``so\_apply``)
                                            THEN  Auto
                                            THEN  BLemma  `continuous-abs`
                                            THEN  Auto
                                            THEN  BLemma  `proper-continuous-implies`
                                            THEN  Auto
                                            THEN  DVar  `m'
                                            THEN  Unhide
                                            THEN  Auto
                                            THEN  Unfold  `iproper`  0
                                            THEN  Auto)
                              )
                            THEN  RepUR  ``r-ap``  -1
                            THEN  ExRepD
                            THEN  (InstLemma  `r-archimedean`  [\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  D  -1
                            THEN  RenameVar  `M'  (-2)
                            THEN  With  \mkleeneopen{}M\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  D  -4
                            THEN  RWO  "-1<"  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index