---

Step * 1 1 of Lemma differentiable-continuous


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
5. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
6. g[x] (proper)continuous for x ∈ I
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m)) ∧ iproper(i-approx(I;m))} 
8. n : ℕ+
9. i-approx(I;m) ⊆ I 
10. ∃M:ℕ. |g x|(x∈i-approx(I;m)) ≤ r(M)
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]
BY
{ xxx((Assert ∃M:ℕ+. |g x|(x∈i-approx(I;m)) ≤ r(M) BY
             (D -1
              THEN With ⌜M + 1⌝  (D 0)⋅
              THEN Auto
              THEN (Assert r(M) ≤ r(M + 1) BY
                          Auto)
              THEN RWO "-1<" 0
              THEN Auto))
      THEN Thin (-2)
      THEN D -1)xxx }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. g : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
5. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
6. g[x] (proper)continuous for x ∈ I
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m)) ∧ iproper(i-approx(I;m))} 
8. n : ℕ+
9. i-approx(I;m) ⊆ I 
10. M : ℕ+
11. |g x|(x∈i-approx(I;m)) ≤ r(M)
⊢ ∃d:ℝ [((r0 < d)
       ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.g[x]  on  I
6.  g[x]  (proper)continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;m))\} 
8.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I 
10.  \mexists{}M:\mBbbN{}.  |g  x|(x\mmember{}i-approx(I;m))  \mleq{}  r(M)
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
              \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                        ((x  \mmember{}  i-approx(I;m))
                        {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;m))
                        {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                        {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))]


By

---

Latex:
xxx((Assert  \mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  |g  x|(x\mmember{}i-approx(I;m))  \mleq{}  r(M)  BY
                      (D  -1
                        THEN  With  \mkleeneopen{}M  +  1\mkleeneclose{}    (D  0)\mcdot{}
                        THEN  Auto
                        THEN  (Assert  r(M)  \mleq{}  r(M  +  1)  BY
                                                Auto)
                        THEN  RWO  "-1<"  0
                        THEN  Auto))
        THEN  Thin  (-2)
        THEN  D  -1)xxx

---

Home Index